Master Mathématiques et applications

I. Compléments sur les anneaux

1. Groupe des éléments inversibles. (ℤ/nℤ)^∗, fonction d’Euler. Éléments irréductibles et éléments premiers. Pgcd et ppcm.
2. Notion d’algèbre. Algèbre des polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques. Liens entre coefficients et racines d’un polynôme. En TD : séries formelles en une variable. Corps des fractions d’un anneau intègre.
3. Anneaux noethériens, théorème de la base de Hilbert.
4. Anneaux factoriels. Lemme de Gauss et lemme d'Euclide. Exemple : les anneaux principaux. Théorème de Gauss sur A[X], pour A factoriel. Polynômes irréductibles, critères d’irréductibilité sur A factoriel (Eisenstein, etc.).

II. Corps (les corps considérés sont commutatifs)

1. Extensions de corps, degrés, multiplicité. Éléments algébriques, éléments transcendants, polynôme minimal, extension algébrique.
2. Corps de rupture, corps de décomposition d’un polynôme.
3. Clôture algébrique (définition), le corps ℂ des nombres complexes est algébriquement clos. Énoncé du théorème de Steinitz.
4. Corps finis, existence et unicité, structure multiplicative. Racines de l’unité, polynômes cyclotomiques, irréductibilité sur ℤ.

III. Représentations des groupes finis sur ℂ

1. Représentations d’un groupe fini. Représentations par permutations, représentations régulières.
2. Représentations irréductibles, Théorème de Maschke.
3. Morphismes de représentations. Lemme de Schur.
4. Caractères. Caractère de Hom(V;W). Orthogonalité et décomposition des représentations. Formule de Burnside. Théorème fondamental de Frobenius et corollaires. Table des caractères. Orthogonalité des colonnes.
5. Exemple : table de 𝔖₄. Noyau d’un caractère. Application : critère de simplicité.
6. Le cas des groupes abéliens. Groupe dual d’un groupe abélien fini. Transformée de Fourier discrète, cas de ℤ/nℤ et (ℤ/nℤ)². Structure des groupes abéliens finis.

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1. Fonctions holomorphes et analytiques, en particulier l’équivalence entre les deux notions, fonction exponentielle et logarithme, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés, formule de Cauchy pour le disque
2. Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes (inégalités de Cauchy, suites et séries de fonctions holomorphes, propriété de la moyenne et principe du maximum)
3. Théorie de Cauchy (existence de primitives, théorèmes de Cauchy)
4. Fonctions méromorphes (classification des singularités isolées, fonctions méromorphes, théorème des résidus, séries de Laurent)
5. Théorème de la représentation conforme de Riemann

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1. Rappels élémentaires de théorie des probabilités
2. Éléments de statistique
3. Espérance conditionnelle
4. Processus à temps discret
5. Martingales
6. Chaînes de Markov

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Espaces de Lebesgue L^p(Omega)
 Densité des fonctions C-infini à support compact dans Lp(Ω)
 Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov (compacité dans Lp(Ω)).
 Eventuellement : convolution L^p-L^q (dans R^n) inégalités de Young. ;  dual de L^p (montré pour \ell^p)
  

Analyse de Fourier
  Rappels sur la transformation de Fourier sur L^1(R^n)
  Transformation de Fourier sur L^2(R^d)
  Espace de Schwartz sur R^d, transformation de Fourier et convolution.
  Eventuellement : brève présentation des distributions tempérées.
  Séries de Fourier sur L^1(T), L^2(T), voire sur T^n
  Application à la résolution des équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger, avec donnée initiale dans S(R^d), L^2(R^d) L^2(T). (et L^p(R^d), pour l’équation de la chaleur, par convolution avec le noyau de la chaleur)
   Résolution de −∆u + u = f dans S(R^d). Terminologie EDP elliptiques, hyperboliques, paraboliques.

Solutions faibles

- pour les équations de transport (∂tu + c · ∂xu = f, c ∈ Rd), avec condition initiale, après résolution du cas classique (C^1) ;

- pour des EDP elliptiques, avec conditions au bord (Dirichlet homogène) : espace de Sobolev H^1 sur I ou Ω, et Rd : caractérisation par Fourier; espace H_0^1 ; lemme de Lax- Milgram.

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Cette UE propose une découverte de la recherche en mathématiques à travers l'étude d'un sujet décrivant un résultat ou une théorie mathématique, avec lesquels l'étudiant.e devra se familiariser afin de se les approprier et de pouvoir en rendre compte par un rapport écrit et un exposé oral.

En pratique, une liste de sujets est proposée au cours du premier semestre. Chaque étudiant.e sélectionne dans cette liste quatre sujets, classés de 1 à 4, puis le responsable de la formation attribue à chaque étudiant.e un sujet figurant dans la mesure du possible parmi ces quatre-là. Dès les attributions connues, chaque étudiant.e contacte l'auteur.e de son sujet, qui va l'encadrer pour ce travail tout au long du second semestre. Une fois que l'encadrant.e a présenté à l'étudiant.e le sujet et les détails du travail attendu, le binôme se rencontre régulièrement afin que l'étudiant.e puisse rendre compte de l'avancement de son travail et progresser dans celui-ci.

Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport écrit, rédigé en utilisant le logiciel LaTeX, comportant obligatoirement un résumé et une bibliographie, et à une soutenance orale d'une durée de 20 à 30 minutes, souvent suivie de questions, devant un jury qui comprend l'encadrant.e. Le rapport et la soutenance contribuent conjointement à l'évaluation du travail réalisé.

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1. Arithmétique modulaire, complexité, arithmétique des corps finis
2. Nombres premiers, test de primalité de Miller-Rabin, certificat de primalité de Pocklington
3. Polynômes irréductibles, tests d’irréducibilité, application à la construction des corps finis et à la factorisation des polynômes
4. Concepts de base de cryptographie, chiffrement symétrique et asymétrique
5. Problème du logarithme discret, échange de clefs Diffie-Hellman, réduction de Pohlig-Hellman, algorithme générique Pollard-Rho, pas-de-bébé-pas-de-géant
6. Factorisation et cryptosystème RSA
7. Codes correcteurs d’erreurs : concepts fondamentaux, exemple des codes de Hamming, codes polynomiaux, codes de Reed-Solomon

Les étudiants travailleront pendant le dernier quart de l’UE sur un thème à choisir et présenter oralement, dont voici quelques exemples :

• Approfondissement d'un des points ci-dessus
• Générateurs de nombres aléatoires, registres à décalage et suites récurrentes linéaires, algorithme de Berlekamp-Massey
• Carrés modulaires, symbole de Legendre et réciprocité quadratique, problème de résiduosité quadratique et applications, test de primalité de Solovay-Strassen
• Factorisation d'entiers par l’algorithme du crible quadratique
• Factorisation dans Z[X]

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1. Compléments du premier semestre : principe du maximum faible pour les ÉDP elliptiques du second ordre, inégalité de Harnack
2. Compléments sur les espaces de Sobolev : injections de Sobolev, opérateurs d'extension, théorie des traces. Introduction aux distributions, distributions tempérées
3. Opérateurs maximaux monotones, théorème de Hille-Yosida
4. Équation de la chaleur dans Ω × ]0,+∞[, où Ω ⊂ ℝⁿ est un domaine régulier : existence et unicité des solutions avec conditions au bord de Dirichlet et de Neumann ; principe du maximum pour les solutions de l'équation de la chaleur
5. Équation des ondes dans Ω × ]0,+∞[ : existence et unicité des solutions, propagation à vitesse finie
6. Équation de la chaleur semi-linéaire

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1. Rappels sur le calcul différentiel dans l’espace euclidien ^{n n m}
2. Courbes et repères
3. Calcul différentiel sur les surfaces de ℝ^{3 3}
4. Variétés abstraites
5. Courbure
6. Géométrie des surfaces de ℝ³ theorema egregium
7. Théorème de Gauss-Bonnet

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Le cours est divisé en deux parties.

Dans la première partie, nous prolongerons l'étude des chaînes de Markov débutée au premier semestre. Nous établirons notamment des liens entre les propriétés de ces objets aléatoires et des propriétés de nature algébrique ou géométrique :

• Nous étudierons la vitesse de convergence vers la mesure invariante pour les chaînes ergodiques, notamment en fonction du spectre de la matrice de transition.
• Nous considérerons des marches aléatoires sur des graphes et étudierons leur comportement en fonction des propriétés géométriques de ceux-ci.

La deuxième partie sera consacrée à des processus à temps continu, à savoir les chaînes de Markov à temps continu, en nous concentrant particulièrement sur les processus de Poisson, qui peuvent être vus comme des ensembles aléatoires de points. Le cours comprendra de nombreux exemples tels que les files d'attentes. Nous terminerons par une introduction au mouvement brownien. Ce processus de Markov à temps et espace d'états continus est la limite d'échelle des marches aléatoires et joue un rôle central dans la théorie des probabilités.

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1. Rappels et compléments sur les extensions de corps
2. Plongements et extensions séparables
3. Extensions galoisiennes
4. Théorie de Galois

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The main objective of this course is to provide basics tools in operations research

- Contents

What is OR?
Linear Programming
Duality
Mixed Integer Programming
Dynamic programming
Constraint Programming
Complexity theory and Scheduling

Voir la page complète

Skills

• Recognize a situation where Operations Research is relevant.
• Know the main tools of Operations Research.
• Have the methodological elements to choose the solution methods and the tools the most adapted for a given practical problem.
• Know how to manipulate the software tools to solve a discrete optimization problem.

The course covers various topics:

• Linear Programming (modelling, solving, duality)
• Mixed Integer Linear Programming (modelling techniques, solving with Branch and Bound)
• Dynamic Programming
• Bonus (riddles, elsewhere on the web, OR News)

More details : https://moodle.caseine.org/course/view.php?id=42

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In this part, we will investigate in more details some mathematical notions related to operations research. We will focus on three aspects: Spectral graph theory, Game theory, and Numerical Optimal transport. For each of these themes, we will see how these theoretical results relate to practical operations research problem and finally illustrate them numerically in Python.

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Il s'agit de viser le niveau de qualification B2 du Conseil de l'Europe, défini par ALTE, dans trois champs de compétences :

1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l'information pertinente et en saisir l'essentiel
3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision

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I. Compléments sur les anneaux

1. Groupe des éléments inversibles. (ℤ/nℤ)^∗, fonction d’Euler. Éléments irréductibles et éléments premiers. Pgcd et ppcm.
2. Notion d’algèbre. Algèbre des polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques. Liens entre coefficients et racines d’un polynôme. En TD : séries formelles en une variable. Corps des fractions d’un anneau intègre.
3. Anneaux noethériens, théorème de la base de Hilbert.
4. Anneaux factoriels. Lemme de Gauss et lemme d'Euclide. Exemple : les anneaux principaux. Théorème de Gauss sur A[X], pour A factoriel. Polynômes irréductibles, critères d’irréductibilité sur A factoriel (Eisenstein, etc.).

II. Corps (les corps considérés sont commutatifs)

1. Extensions de corps, degrés, multiplicité. Éléments algébriques, éléments transcendants, polynôme minimal, extension algébrique.
2. Corps de rupture, corps de décomposition d’un polynôme.
3. Clôture algébrique (définition), le corps ℂ des nombres complexes est algébriquement clos. Énoncé du théorème de Steinitz.
4. Corps finis, existence et unicité, structure multiplicative. Racines de l’unité, polynômes cyclotomiques, irréductibilité sur ℤ.

III. Représentations des groupes finis sur ℂ

1. Représentations d’un groupe fini. Représentations par permutations, représentations régulières.
2. Représentations irréductibles, Théorème de Maschke.
3. Morphismes de représentations. Lemme de Schur.
4. Caractères. Caractère de Hom(V;W). Orthogonalité et décomposition des représentations. Formule de Burnside. Théorème fondamental de Frobenius et corollaires. Table des caractères. Orthogonalité des colonnes.
5. Exemple : table de 𝔖₄. Noyau d’un caractère. Application : critère de simplicité.
6. Le cas des groupes abéliens. Groupe dual d’un groupe abélien fini. Transformée de Fourier discrète, cas de ℤ/nℤ et (ℤ/nℤ)². Structure des groupes abéliens finis.

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1. Fonctions holomorphes et analytiques, en particulier l’équivalence entre les deux notions, fonction exponentielle et logarithme, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés, formule de Cauchy pour le disque
2. Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes (inégalités de Cauchy, suites et séries de fonctions holomorphes, propriété de la moyenne et principe du maximum)
3. Théorie de Cauchy (existence de primitives, théorèmes de Cauchy)
4. Fonctions méromorphes (classification des singularités isolées, fonctions méromorphes, théorème des résidus, séries de Laurent)
5. Théorème de la représentation conforme de Riemann

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1. Rappels élémentaires de théorie des probabilités
2. Éléments de statistique
3. Espérance conditionnelle
4. Processus à temps discret
5. Martingales
6. Chaînes de Markov

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Espaces de Lebesgue L^p(Omega)
 Densité des fonctions C-infini à support compact dans Lp(Ω)
 Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov (compacité dans Lp(Ω)).
 Eventuellement : convolution L^p-L^q (dans R^n) inégalités de Young. ;  dual de L^p (montré pour \ell^p)
  

Analyse de Fourier
  Rappels sur la transformation de Fourier sur L^1(R^n)
  Transformation de Fourier sur L^2(R^d)
  Espace de Schwartz sur R^d, transformation de Fourier et convolution.
  Eventuellement : brève présentation des distributions tempérées.
  Séries de Fourier sur L^1(T), L^2(T), voire sur T^n
  Application à la résolution des équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger, avec donnée initiale dans S(R^d), L^2(R^d) L^2(T). (et L^p(R^d), pour l’équation de la chaleur, par convolution avec le noyau de la chaleur)
   Résolution de −∆u + u = f dans S(R^d). Terminologie EDP elliptiques, hyperboliques, paraboliques.

Solutions faibles

- pour les équations de transport (∂tu + c · ∂xu = f, c ∈ Rd), avec condition initiale, après résolution du cas classique (C^1) ;

- pour des EDP elliptiques, avec conditions au bord (Dirichlet homogène) : espace de Sobolev H^1 sur I ou Ω, et Rd : caractérisation par Fourier; espace H_0^1 ; lemme de Lax- Milgram.

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Cette UE propose une découverte de la recherche en mathématiques à travers l'étude d'un sujet décrivant un résultat ou une théorie mathématique, avec lesquels l'étudiant.e devra se familiariser afin de se les approprier et de pouvoir en rendre compte par un rapport écrit et un exposé oral.

En pratique, une liste de sujets est proposée au cours du premier semestre. Chaque étudiant.e sélectionne dans cette liste quatre sujets, classés de 1 à 4, puis le responsable de la formation attribue à chaque étudiant.e un sujet figurant dans la mesure du possible parmi ces quatre-là. Dès les attributions connues, chaque étudiant.e contacte l'auteur.e de son sujet, qui va l'encadrer pour ce travail tout au long du second semestre. Une fois que l'encadrant.e a présenté à l'étudiant.e le sujet et les détails du travail attendu, le binôme se rencontre régulièrement afin que l'étudiant.e puisse rendre compte de l'avancement de son travail et progresser dans celui-ci.

Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport écrit, rédigé en utilisant le logiciel LaTeX, comportant obligatoirement un résumé et une bibliographie, et à une soutenance orale d'une durée de 20 à 30 minutes, souvent suivie de questions, devant un jury qui comprend l'encadrant.e. Le rapport et la soutenance contribuent conjointement à l'évaluation du travail réalisé.

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1. Arithmétique modulaire, complexité, arithmétique des corps finis
2. Nombres premiers, test de primalité de Miller-Rabin, certificat de primalité de Pocklington
3. Polynômes irréductibles, tests d’irréducibilité, application à la construction des corps finis et à la factorisation des polynômes
4. Concepts de base de cryptographie, chiffrement symétrique et asymétrique
5. Problème du logarithme discret, échange de clefs Diffie-Hellman, réduction de Pohlig-Hellman, algorithme générique Pollard-Rho, pas-de-bébé-pas-de-géant
6. Factorisation et cryptosystème RSA
7. Codes correcteurs d’erreurs : concepts fondamentaux, exemple des codes de Hamming, codes polynomiaux, codes de Reed-Solomon

Les étudiants travailleront pendant le dernier quart de l’UE sur un thème à choisir et présenter oralement, dont voici quelques exemples :

• Approfondissement d'un des points ci-dessus
• Générateurs de nombres aléatoires, registres à décalage et suites récurrentes linéaires, algorithme de Berlekamp-Massey
• Carrés modulaires, symbole de Legendre et réciprocité quadratique, problème de résiduosité quadratique et applications, test de primalité de Solovay-Strassen
• Factorisation d'entiers par l’algorithme du crible quadratique
• Factorisation dans Z[X]

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1. Compléments du premier semestre : principe du maximum faible pour les ÉDP elliptiques du second ordre, inégalité de Harnack
2. Compléments sur les espaces de Sobolev : injections de Sobolev, opérateurs d'extension, théorie des traces. Introduction aux distributions, distributions tempérées
3. Opérateurs maximaux monotones, théorème de Hille-Yosida
4. Équation de la chaleur dans Ω × ]0,+∞[, où Ω ⊂ ℝⁿ est un domaine régulier : existence et unicité des solutions avec conditions au bord de Dirichlet et de Neumann ; principe du maximum pour les solutions de l'équation de la chaleur
5. Équation des ondes dans Ω × ]0,+∞[ : existence et unicité des solutions, propagation à vitesse finie
6. Équation de la chaleur semi-linéaire

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1. Rappels sur le calcul différentiel dans l’espace euclidien ^{n n m}
2. Courbes et repères
3. Calcul différentiel sur les surfaces de ℝ^{3 3}
4. Variétés abstraites
5. Courbure
6. Géométrie des surfaces de ℝ³ theorema egregium
7. Théorème de Gauss-Bonnet

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Le cours est divisé en deux parties.

Dans la première partie, nous prolongerons l'étude des chaînes de Markov débutée au premier semestre. Nous établirons notamment des liens entre les propriétés de ces objets aléatoires et des propriétés de nature algébrique ou géométrique :

• Nous étudierons la vitesse de convergence vers la mesure invariante pour les chaînes ergodiques, notamment en fonction du spectre de la matrice de transition.
• Nous considérerons des marches aléatoires sur des graphes et étudierons leur comportement en fonction des propriétés géométriques de ceux-ci.

La deuxième partie sera consacrée à des processus à temps continu, à savoir les chaînes de Markov à temps continu, en nous concentrant particulièrement sur les processus de Poisson, qui peuvent être vus comme des ensembles aléatoires de points. Le cours comprendra de nombreux exemples tels que les files d'attentes. Nous terminerons par une introduction au mouvement brownien. Ce processus de Markov à temps et espace d'états continus est la limite d'échelle des marches aléatoires et joue un rôle central dans la théorie des probabilités.

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1. Rappels et compléments sur les extensions de corps
2. Plongements et extensions séparables
3. Extensions galoisiennes
4. Théorie de Galois

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The main objective of this course is to provide basics tools in operations research

- Contents

What is OR?
Linear Programming
Duality
Mixed Integer Programming
Dynamic programming
Constraint Programming
Complexity theory and Scheduling

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Skills

• Recognize a situation where Operations Research is relevant.
• Know the main tools of Operations Research.
• Have the methodological elements to choose the solution methods and the tools the most adapted for a given practical problem.
• Know how to manipulate the software tools to solve a discrete optimization problem.

The course covers various topics:

• Linear Programming (modelling, solving, duality)
• Mixed Integer Linear Programming (modelling techniques, solving with Branch and Bound)
• Dynamic Programming
• Bonus (riddles, elsewhere on the web, OR News)

More details : https://moodle.caseine.org/course/view.php?id=42

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In this part, we will investigate in more details some mathematical notions related to operations research. We will focus on three aspects: Spectral graph theory, Game theory, and Numerical Optimal transport. For each of these themes, we will see how these theoretical results relate to practical operations research problem and finally illustrate them numerically in Python.

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Il s'agit de viser le niveau de qualification B2 du Conseil de l'Europe, défini par ALTE, dans trois champs de compétences :

1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l'information pertinente et en saisir l'essentiel
3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision

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Projet de recherche de fin d'études.

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https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/m2r/?q=content/academic-year-2023-2024-geometrical-aspects-probability

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This course is an introduction to the main concepts of object-oriented programming, elaborated on C++. It mainly considers: Basics on classes, instances, constructors and destructors, aggregation. Memory management, pointers, references. Operator overloading. Genericity, template classes. STL (Standard Template Library) objects. Inheritance, polymorphism. The objective of this course is to present the computer sciences basics useful for applied mathematics.

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Give an overview of modelling using partial differential equations.

Types of equations, conservation laws

Finite differences methods

Laplace equation

Parabolic equations (diffusion)

Hyperbolic equations (propagation)

Non linear hyperbolic equations

This course include practical sessions.

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The aim of this course is to provide the basics mathematical tools and methods of image processing and applications.

Image definition Fourier transform, FFT, applications Image digitalisation, sampling Image processing: convolution, filtering. Applications Image decomposition, multiresolution. Application to compression This course includes practical sessions.

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This course is an introduction to the differential geometry of curves and surfaces with a particular focus on spline curves and surfaces that are routinely used in geometrical design softwares.

Differential geometry of curves

Approximation of curves with splines, Bézier and spline curves, algorithms,…

Differential geometry of surfaces, metric and curvature properties,…

This course includes practical sessions.

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The aim of this course is to provide basic knowledge of applied probability and an introduction to mathematical statistics.

Applied probability

Estimation (parameter)

Sample comparison

Statistical tests

This course includes practical sessions.

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Ce cours présente des manières géométriques de traiter et résoudre des problèmes décrits par des équations différentielles.

        - chapitre I : Introduction : généralités sur les systèmes dynamiques

        - chapitre II : Systèmes unidimensionnels : Les points fixes, linéarisation et stabilité, Exemple : le modèle logistique, Existence et unicité des solutions d'équations différentielles ordinaires

        - chapitre III :  Bifurcations : Bifurcation selle-nœud, Bifurcation transcritique, Bifurcation transcritique imparfaite, Bifurcation fourche, Bifurcation fourche supercritique, Bifurcation fourche sous-critique, Bifurcation fourche supercritique imparfaite

        - chapitre IV :  Champ de vecteur sur un cercle : Oscillateur uniforme, Oscillateur non-uniforme

        - chapitre V : Flots bidimensionnels et applications : Existence et unicité des solutions et conséquences topologiques, Systèmes linéaires, Systèmes non-linéaires : linéarisation proche des points fixes, Cycles limites, Le théorème de Poincaré-Bendixson, Systèmes Liénard, Systèmes gradients, Fonctions de Liapunov

        - chapitre VI : Bifurcations bidimensionnelles : Bifurcations selle-nœud, transcritique et fourche, Bifurcation de Hopf, Bifurcations globales de cycles

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This course presents basic notions on instabilities and turbulence. We try to be as progressive as possible and to base our presentation on analyses of real experiments and real flows. We review few mathematical methods to analyze nonlinear systems in terms of instabilities. The students have to use their new knowledge to run and analyze numerical simulations of very simple systems. We then study some of the most important physical mechanisms for fluid instabilities and the corresponding criteria. We quickly present a zoology of common fluid instabilities and discuss the mechanisms and the possible technical implications. We give a broad introduction on turbulence and describe few fundamental methods and results, in particular the Richardson cascade, the Reynolds decomposition and the Kolmogorov spectra.

Teaching program:

1. General introduction

- Instabilities and turbulence, interest?

- Reynolds experiment and Reynolds number

- Incompressible Navier-Stokes equations: diffusion and advection

- An example: the wake of a cylinder

2. Instabilities and transition to turbulence

- Systems with few degrees of freedom

- Fluid instability mechanisms and conditions

- Other flows examples

3. Effects of variable density

- Boussinesq approximation

- Unstable stratification, Rayleigh-Taylor instability

- Rayleigh-Benard instability (Ra, Nu)

- Stable stratification, Kelvin-Helmoltz instability and Richardson number

4. Turbulence

- Introduction, Richardson cascade

- Average and Reynolds decomposition

- Experimental and numerical methods to study turbulence

- Statistical descriptions

For this course, the students have to write in LaTeX a report on their practical work. Thus, we spent some time for a first gentle introduction of this tool widely used in scientific academia.

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Ce module est une introduction à la turbulence phénoménologique et statistique. On s’intéresse aux définitions et propriétés de la turbulence en terme de processus physiques et leur description dans des familles types d’écoulements cisaillés que l’on peut retrouver dans la nature et en ingénierie.

jet turbulent
jet turbulent

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The aim of this course is to give an introduction to numerical and computing problematics of large dimension problems.

Contents:

• Introduction to database
• Introduction to big data
• Introduction to high performance computing (HPC)
• Numerical solvers for HPC

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