Catalogue des formations

Diplômes intégrant cet élément pédagogique :

• Master Mathématiques et applications

Descriptif

Le cours est divisé en deux parties.

Dans la première partie, nous prolongerons l'étude des chaînes de Markov débutée au premier semestre. Nous établirons notamment des liens entre les propriétés de ces objets aléatoires et des propriétés de nature algébrique ou géométrique :

• Nous étudierons la vitesse de convergence vers la mesure invariante pour les chaînes ergodiques, notamment en fonction du spectre de la matrice de transition.
• Nous considérerons des marches aléatoires sur des graphes et étudierons leur comportement en fonction des propriétés géométriques de ceux-ci.

La deuxième partie sera consacrée à des processus à temps continu, à savoir les chaînes de Markov à temps continu, en nous concentrant particulièrement sur les processus de Poisson, qui peuvent être vus comme des ensembles aléatoires de points. Le cours comprendra de nombreux exemples tels que les files d'attentes. Nous terminerons par une introduction au mouvement brownien. Ce processus de Markov à temps et espace d'états continus est la limite d'échelle des marches aléatoires et joue un rôle central dans la théorie des probabilités.

Le programme de cette UE concerne les chaînes de Markov. Son objectif est de conforter les acquis du cours de probabilités du premier semestre, de donner des exemples importants de chaînes de Markov et d’étudier des processus à temps continu, les chaînes de Markov en temps continu.

Cette UE pourra être utile aux futurs candidats à l’Agrégation comptant prendre l’option Probabilités. En effet, on étudiera le processus de Poisson, au programme de l’agrégation mais pas étudié précédemment. D’ailleurs, il est écrit dans le rapport du jury :

Processus de Poisson. Ce point du programme n’est pas le plus volumineux, et pourtant c’est un des plus méconnus. Les propriétés de ce processus, l’allure de ses trajectoires, une idée de sa construction à partir de variables exponentielles sont autant de questions qui pourraient être moins difficiles avec un peu de préparation spécifique. Le reste du programme de l'UE ne figure pas explicitement au programme de l’option Probabilités de l'Agrégation mais il pourra servir à l’oral de ce concours et il représente de toute manière de belles mathématiques ne nécessitant pas l'introduction de beaucoup de nouvelles notions.

Enfin, l'UE pourra intéresser les étudiants souhaitant se diriger vers un M2 centré sur les probabilités ou sur des thèmes de mathématiques discrètes, par exemple à Grenoble, le M2 ORCO (Operations Research, Combinatorics and Optimization).

Bibliographie

• Pierre Brémaud, Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation and Queues, second edition, 2020, Springer
• J. R. Norris, Markov Chains, 1997, Cambridge University Press

Informations complémentaires

Langue(s) : Français