UE Analyse 1

Espaces de Lebesgue L^p(Omega)
 Densité des fonctions C-infini à support compact dans Lp(Ω)
 Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov (compacité dans Lp(Ω)).
 Eventuellement : convolution L^p-L^q (dans R^n) inégalités de Young. ;  dual de L^p (montré pour \ell^p)
  

Analyse de Fourier
  Rappels sur la transformation de Fourier sur L^1(R^n)
  Transformation de Fourier sur L^2(R^d)
  Espace de Schwartz sur R^d, transformation de Fourier et convolution.
  Eventuellement : brève présentation des distributions tempérées.
  Séries de Fourier sur L^1(T), L^2(T), voire sur T^n
  Application à la résolution des équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger, avec donnée initiale dans S(R^d), L^2(R^d) L^2(T). (et L^p(R^d), pour l’équation de la chaleur, par convolution avec le noyau de la chaleur)
   Résolution de −∆u + u = f dans S(R^d). Terminologie EDP elliptiques, hyperboliques, paraboliques.

Solutions faibles

- pour les équations de transport (∂tu + c · ∂xu = f, c ∈ Rd), avec condition initiale, après résolution du cas classique (C^1) ;

- pour des EDP elliptiques, avec conditions au bord (Dirichlet homogène) : espace de Sobolev H^1 sur I ou Ω, et Rd : caractérisation par Fourier; espace H_0^1 ; lemme de Lax- Milgram.

• Sylvie Benzoni-Gavage, Calcul différentiel et équations différentielles : cours et exercices corrigés, 2014
• Lawrence C. Evans, Partial differential equations, 1998
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, 2003
• Mark A. Pinsky, Introduction to Fourier analysis and wavelets, 2001
• Elliott H. Lieb, Michael Loss, Analysis, 1997
• Haïm Brézis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications, 1983