Magistère de Mathématiques et applications

Théorie des groupes

Théorie élémentaire (sous-groupes, morphismes, sous-groupe engendré par une partie, cas de Z, groupes monogènes, cycliques, ordre
d’un élément, centre, produit direct, groupes d’automorphismes, sous-groupes distingués).

Groupes orthogonaux  O(E), SO(E), pour E un espace euclidien, familles génératrices
des reflexions et des renversements. Groupes GL_n(K), SL_n(K), famille des transvections, dilatations. Lien avec les opérations élémentaires sur les lignes et colonnes.

Classes latérales,   groupes quotients. Exemple : Z/nZ. Théorème de
Lagrange, factorisation des morphismes. Théorèmes d’isomorphismes.

Actions de groupes,   exemple de l’action d’un sous-groupe par multiplication à
gauche, par conjugaison. Vocabulaire : orbite, stabilisateur, noyau, action fidèle,
transitive, équation aux classes, théorème orbite/stabilisateur.

Groupes symétriques,   décomposition en cycles, classes de conjugaison (éventuelle-
ment, lien avec les partitions d’entiers), signature, groupe alterné, pour n plus grand que 5 : simplicité de A_n , sous groupes distingués de S_n.

Produits directs et semi-directs, éléments de structure des groupes finis  Cauchy, Fermat, Frobenius, nombre de points fixes lorsque G est un p-groupe, le centre dun
p-groupe est non trivial. Théorèmes de Sylow.

Introduction à la théorie des anneaux

Généralités, anneaux, sous-anneaux, morphisme d’anneaux, idéaux, idéal engendré,
exemples de Z et ses idéaux. Anneaux produits A^X , M_n (A). Anneaux de polynômes,
A[X], propriété universelle. Anneaux intègres, corps, idéal maximal, existence des
idéaux maximaux contenant un idéal strict donné (possiblement admis)

Anneaux principaux, euclidiens et leur arithmétique, pgcd, ppcm, interprétés en termes de somme et d’intersection.
Anneaux euclidiens, exemples, principalité, algorithme d’Euclide étendu.

Anneaux quotients, théorème de factorisation, théorèmes d’isomorphismes. Caractérisation des idéaux premiers et maximaux en termes d’anneau quotient, théorème
des restes Chinois. On insistera sur Z et K[X]. Caractérisation des anneaux quotients de Z et K[X] qui sont des corps en termes de primalité et d’irréductibilité
des générateurs d’idéaux.

Compléments d'Algèbre linéaire

Dualité, en dimension finie, base duale, orthogonalité, hyperplans, base anteduale,
endomorphisme adjoint et transposition.

Réduction des endomorphismes normaux d’un espace euclidien, application aux en-
domorphismes symétriques, antisymétriques, et aux isométries. On pourra évoquer
le cas hermitien.

Décomposition de Dunford (vue en TD),

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Chapitre 1 : Le corps des réels

1. Définition de R et premières propriétés
Ensembles ordonnés, bornes supérieure et inférieure, corps ordonnés. Définition de R comme unique corps ordonné possédant la propriété de la borne supérieure. Propriété d’Archimède, densité de Q dans R.
2. Suites réelles
Notion de convergence, suites croissantes majorées, caractérisation séquentielle de la borne supérieure. Valeurs d’adhérence, limites supérieure et inférieure d’une suite bornée, théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites de Cauchy, complétude. Construction de R.
3. Développement décimal
Définition, existence et unicité du développement décimal propre. Caractérisation décimale de Q.
4. Dénombrabilité
Définitions, dénombrabilité d’un produit fini et d’une union dénombrable d’ensembles dénombrables. Non-dénombrabilité de {0, 1} N et de R.
5. Fonctions réelles
Continuité en un point et sur un sous-ensemble de R, caractérisation séquentielle de la continuité. Théorème des valeurs intermédiaires, image d’un segment par une application continue.
Continuité uniforme, théorème de Heine sur un segment. Convergences simple et uniforme d’une suite de fonctions, continuité d’une limite uniforme de fonctions continues. Théorèmes de Dini.

Chapitre 2 : Espaces métriques, espaces vectoriels normés, espaces préhilbertiens

1. Espaces métriques
Distance sur un ensemble, exemples d’espaces métriques, diamètre d’une partie, distance d’un point à une partie, inégalité triangulaire inverse.
2. Espaces vectoriels normés
Norme sur un espace vectoriel, exemples d’espaces vectoriels normés, caractérisation des distances associées à une norme. Normes usuelles sur K n , où K = R ou C, inégalités de Young,
de Hölder, et de Minkowski. Equivalence des normes k · k p sur K n pour p ∈ [1, ∞]. Normes correspondantes sur C([a, b], K), et non-équivalence de celles-ci. Espaces l p .
3. Espaces préhilbertiens
Produit scalaire sur un espace vectoriel, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz, identité du parallélogramme, identité de polarisation. Caractérisation des normes associées à un produit scalaire.
4. Topologie des espaces métriques
Boules ouvertes, boules fermées, ensembles ouverts, ensembles fermés, voisinages. Une union quelconque ou une intersection finie d’ouverts est un ouvert. Cas des espaces vectoriels normés, invariance de la topologie par translation et dilatation, convexité des boules.
5. Convergence des suites
Définition, unicité de la limite, exemples. Ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite, cas des suites de Cauchy, exemples d’espaces complets ou non. Caractérisation séquentielle des ensembles fermés.
6. Fonction continues
Définition d’une application continue entre deux espaces métriques, critère séquentiel, caractérisation topologique de la continuité (l’image inverse d’un ouvert est ouvert). Compositions, sommes, ou produits d’applications continues. Applications uniformément continues, lipschitziennes. Densité d’une partie, exemples. Image d’une partie dense par une application continue et sujective. Une application continue est univoquement déterminée par sa donnée sur une partie dense.
7. Parties compactes 
Définition (par la propriété de Bolzano-Weierstrass), compacité implique complétude, parties compactes de K n . Image d’une partie compacte par une application continue. Equivalence de normes, toutes les normes sur K n sont équivalentes. Exemple de normes non équivalentes en dimension infinie. Une suite dans un compact converge vers l’ensemble de ses valeurs d’adhérence. Equivalence des propriétés de Borel-Lebesgue et de Bolzano-Weierstrass dans le cas métrique.
8. Homéomorphismes
Définition, ensembles homéomorphes, exemples (classes d’équivalence des intervalles de R).
Propriétés préservées ou non par homéomorphisme. Distances topologiquement équivalentes, distances équivalentes.
9. Aplications linéaires continues
Borne d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés, propriétés. Applications continues, lipschitziennes, espace vectoriel normé des applications linéaires continues. Cas de la dimension finie, exemple d’application linéaire non bornée en dimension infinie. Normes usuelles sur les matrices. Formes linéaires continues, dual topologique d’un espace vectoriel normé. Une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé. Prolongement d’une application linéaire sur une partie dense.

Chapitre 3 Topologie générale

1. Définitions générales
Topologie sur un ensemble, exemples d’espaces topologiques. Métrisabilité, espace séparable au sens de Hausdorff, voisinages et bases de voisinages. Topologie engendrée par une famille de parties. Topologie induite sur un sous-ensemble, cas des espaces métriques.
2. Limites et continuité
Convergence d’une suite, unicité de la limite dans le cas séparé. Continuité d’une fonction, propriétés. Caractérisation séquentielles (partielles) des ensembles fermés et des applications continues. Transport de topologie par une application, topologie induite (ou initiale) et topologie image (ou finale).
3. Intérieur, adhérence, frontière
Définitions, caractérisations, propriétés élémentaires. Comportement sous les opérations ensemblistes, image ou image inverse par une application continue. Valeurs d’adhérence d’une suite, lien avec l’adhérence de l’ensemble des valeurs de la suite. Parties denses.
4. Produits et quotients
Définition et propriétés de la topologie produit dans le cas d’un nombre fini de facteurs. Les projections canoniques sont continues et ouvertes. Cas des espaces métriques. Produit infini d’espaces topologiques, produit dénombrable d’espaces métriques. Topologie quotient, exemple.
5. Compacité
Parties compactes d’un espace topologique séparé (définies par la propriété de Borel-Lebesgue), propriétés élémentaires, séparation des ensembles compacts disjoints. Théorème de Tykhonov (admis dans le cas général). Un produit dénombrable d’espaces métriques compacts est un espace métrique compact. Séparation des fermés disjoints dans les espaces métriques.
6. Connexité
Définition et caractérisations d’un espace ou d’une partie connexe. Sous-ensembles connexes de R. Conditions suffisantes pour qu’une union de connexes soit connexe. Adhérence et image continue d’une partie connexe. Composantes connexes. Connexité par arcs, ouverts connexes d’un espace vectoriel normé. Connexité simple (facultatif). Exemple de l’ensemble de Cantor.

Chapitre 4 : Compléments et applications.

1. Espaces métriques complets
Théorème de Baire, conséquences (un espace de Banach de dimension infinie n’admet pas de base algébrique dénombrable). Suites récurrentes, théorème du point fixe de Banach.
2. Espaces de Banach
Définition, exemples (espaces de suites, espaces de fonctions), démonstration de la complétude.
3. Séries dans les espaces de Banach
Convergence et convergence absolue d’une série dans un espace de Banach. Applications : perturbations d’un endomorphisme inversible, exponentielle d’un endomorphisme, cas particulier
des matrices.
4. Espaces de Hilbert
Projection sur un convexe fermé non vide, projection orthogonale sur un sous-espace fermé, théorème de représentation de Riesz. Familles orthonormées, inégalité de Bessel, bases hilbertiennes dans le cas séparable.
5. Théorème d’Ascoli
Ensembles relativement compacts, familles uniformément équicontinues, théorème d’Ascoli.
6. Théorème de Stone-Weierstrass
Théorème d’approximation de Weierstrass, preuve de Bernstein. Algèbres de fonctions, théorème de Stone-Weierstrass.

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L’UE oral consiste en une épreuve orale d’une durée de 30 minutes. Cetteépreuve porte sur le programme des deux matières du semestre S5 (algèbre et topologie) : le candidat peut être interrogé indifféremment sur le programme de l’une ou l’autre de ces matières (à l’exception des candidats ayant déja acquis l’une d’elles ou n’étant inscrits que dans une matière du premier semestre). Une liste de thèmes est proposée au candidat (au minimum 10 dans chaque UE). Le candidat choisit 4 de ces thèmes(2 en Algèbre et 2 en Topologie, ou 4 dans l’unique UE d’inscription) et les propose à l’examinateur, qui en retient un, sur lequel le candidat est interrogé.

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I. Espaces mesurés, espaces probabilisés

Algèbre de parties d’un ensemble E.
Exemple : les unions finis d’intervalles de R. Toute union finie d’intervalles de R peut s’écrire comme union finie d’intervalles disjoints.
Tribus sur un ensemble E. Espace mesurables. Tribu engendrée par une partie de P(E).
Tribu borélienne sur un espace topologique. Classes monotones. Théorème des classes monotones.

II. Mesures positives, probabilités

Définitions et premières propriétés.
Ensembles de mesure nulle. Propriétés vraies presque partout.8
Mesure de Stieltjes associée à une fonction croissante et continue à droite F de R dans R.
On admettra l’existence et on ne montrera que l’unicité à l’aide du théorème des classes monotones.
Mesure des intervalles ]a, b], [a, b], [a, b[, ]a, b[.
Les mesures boréliennes positives sur R sont exactement les mesures de Stieltjes. Exemples
de mesures discrètes, singulières continues, absolument continues (même si l’on ne peut
pas encore le montrer). La mesure de Stieltjes associée à F s’obtient comme mesure image
de la mesure de Lebesgue sur l’intervalle ]F (−∞); F (+∞)[ par la fonction pseudo-inverse
de F .
Mesure de Lebesgue sur R. Invariance par symétrie et translation.
Exemples de parties de R de mesure de Lebesgue nulle.
Applications mesurables entre deux espaces mesurables. Tribu initiale associée. Mesure
image. Exemples.

III. Intégration par rapport à une mesure positive

Intégration des fonctions étagées (à valeurs dans R).
Intégration de fonctions mesurables à valeurs dans [0; +∞]. Si l’intégrale est finie, la fonction est finie presque partout. Si l’intégrale est nulle, la fonction est nulle presque partout.
Intégration des fonctions intégrables à valeurs dans R et C.
Le module de l’intégrale est plus petit que l’intégrale du module. Cas d’égalité.
Liens entre l’intégrale de Riemann et l’intégrale de Lebesgue sur R.
Intégration par rapport à une mesure discrète. Intégration par rapport à une mesure à densité (ce point utilise le théorème de Beppo-Lévi).
Théorèmes de Beppo-Lévi, Fatou, convergence dominée. Continuité, dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre.
Intégrale indéfinie.

IV. Espaces L^p

(Dans la perspective de l'utilité pour les probabilités) 

Définition, inégalités de Holder et de Minkovski.
Toute série de fonctions normalement convergente dans L^p (E, A, μ) converge presque partout et dans L^p (E, A, μ). L’espace de Banach L^p (E, A, μ) est complet.
Densité des fonctions continues à support compact et des fonctions en escalier dans L^p (R^d ).
Continuité des translations dans L^p (R^d ).

V. Produit de deux espaces mesurés (ou d’un nombre fini)

Espaces, tribus et mesures produits.
Théorème de Fubini.
Mesure de Lebesgue sur R^d . Invariance par isométrie. Effet d’une application linéaire.
Formule de changement de variables (énoncée mais admise). Application à la détermination
de mesures images.

VI. Convolution et transformation de Fourier dans R^d

(Dans la perspective de l'utilité pour les probabilités, exemples
d’utilisation des théorèmes d’intégration.)

Convolution de deux fonctions dans L^1 (R d ).
Densité de C_c^∞ (R^d ) dans L^1 (R^d ).
Transformation de Fourier sur L^1 (R^d ) (convention \int f(x)e^{ −ix·\xi}  dx).
Transformée de Fourier d’un produit de convolution.
Transformée de Fourier de la densité d’une gaussienne centrée.
Formule d’inversion pour f \in L^1 (R^d ) telle que Ff soit dans L^1 (R^d).
Formule de Plancherel.
Convolution de deux mesures positives finies. Cas où l’une des deux possède une densité.

VII. Probabilités

1. Vocabulaire probabiliste
– Variable aléatoire, loi, tribu associée.
– Couples de variables aléatoires. Loi jointe et lois marginales.
– Variables aléatoires réelles : fonction de répartition, conditions d’existence d’une densité,
espérance.
– Théorème de transfert. Cas de variables aléatoires discrètes Cas de variables aléatoires
à valeurs dans R^d et à densité.
– Variance, écart-type, covariance, coefficient de corrélation.
– Probabilité et espérance sachant un événement.
2. Indépendance
– Indépendance de tribus, de variables aléatoires, de n événements, de deux événements.
– Critères pour savoir que des variables aléatoires discrètes sont indépendantes.
– Critères pour savoir que des variables aléatoires réelles sont indépendantes.
– Indépendance et espérance.
– Somme de variables aléatoires indépendantes : loi, variance.
– Loi du zéro-un de Kolmogorov.
3. Variables aléatoires à valeurs dans R^d
– Fonction de répartition.
– Espérance, matrice de covariances.
– Fonction caractéristique.
– La fonction caractéristique détermine la loi. Corollaire : critère d’indépendance des composantes.
– Fonction caractéristique d’une somme de variables aléatoires indépendantes.
– Variables aléatoires gaussiennes.
4. Théorèmes limites
– Théorèmes de Borel-Cantelli
– Convergence presque sûre, en probabilité dans L^p .
– Loi faible et loi forte des grands nombres. Loi forte prouvée seulement pour des variables
dans L^4 .
– Convergence en loi. Définitions équivalentes.
– Théorème de Lévy.
– Théorème limite central, théorème de Poisson.

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I. Calcul différentiel dans les espaces de Banach.

1. Différentielle, dérivées directionnelles, dérivées partielles dans R^n . Théorème des
accroissements finis.
2. Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites.
3. Différentielles d’ordre supérieur. Lemme de Schwarz.
4. Formules de Taylor.
5. Fonctions convexes.
6. Forme normale des immersions et des submersions. Sous-variétés de R n, espaces
tangents (équivalence entre définitions).
7. Extrema et extrema liés.

II. Équations différentielles.

1. Équation différentielle, champ de vecteurs.
2. Théorie de Cauchy-Lipschitz locale et globale. Lemme de Gronwall. Bouts d’une
solution. Dépendance continue par rapport aux données.
3. Flot d’une équation différentielle, d’un champ de vecteurs.
4. Équations différentielles linéaires. Exponentielle dans le cas constant, stabilité dans
le cas constant, variation de la constante en général.
5. Équations différentielles autonomes : équilibres, stabilité.

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Il s'agit de viser le niveau de qualification B2 du Conseil de l'Europe, défini par ALTE, dans trois champs de compétences :

1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l'information pertinente et en saisir l'essentiel
3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision

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I. Compléments sur les anneaux

1. Groupe des éléments inversibles. (ℤ/nℤ)^∗, fonction d’Euler. Éléments irréductibles et éléments premiers. Pgcd et ppcm.
2. Notion d’algèbre. Algèbre des polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques. Liens entre coefficients et racines d’un polynôme. En TD : séries formelles en une variable. Corps des fractions d’un anneau intègre.
3. Anneaux noethériens, théorème de la base de Hilbert.
4. Anneaux factoriels. Lemme de Gauss et lemme d'Euclide. Exemple : les anneaux principaux. Théorème de Gauss sur A[X], pour A factoriel. Polynômes irréductibles, critères d’irréductibilité sur A factoriel (Eisenstein, etc.).

II. Corps (les corps considérés sont commutatifs)

1. Extensions de corps, degrés, multiplicité. Éléments algébriques, éléments transcendants, polynôme minimal, extension algébrique.
2. Corps de rupture, corps de décomposition d’un polynôme.
3. Clôture algébrique (définition), le corps ℂ des nombres complexes est algébriquement clos. Énoncé du théorème de Steinitz.
4. Corps finis, existence et unicité, structure multiplicative. Racines de l’unité, polynômes cyclotomiques, irréductibilité sur ℤ.

III. Représentations des groupes finis sur ℂ

1. Représentations d’un groupe fini. Représentations par permutations, représentations régulières.
2. Représentations irréductibles, Théorème de Maschke.
3. Morphismes de représentations. Lemme de Schur.
4. Caractères. Caractère de Hom(V;W). Orthogonalité et décomposition des représentations. Formule de Burnside. Théorème fondamental de Frobenius et corollaires. Table des caractères. Orthogonalité des colonnes.
5. Exemple : table de 𝔖₄. Noyau d’un caractère. Application : critère de simplicité.
6. Le cas des groupes abéliens. Groupe dual d’un groupe abélien fini. Transformée de Fourier discrète, cas de ℤ/nℤ et (ℤ/nℤ)². Structure des groupes abéliens finis.

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1. Fonctions holomorphes et analytiques, en particulier l’équivalence entre les deux notions, fonction exponentielle et logarithme, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés, formule de Cauchy pour le disque
2. Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes (inégalités de Cauchy, suites et séries de fonctions holomorphes, propriété de la moyenne et principe du maximum)
3. Théorie de Cauchy (existence de primitives, théorèmes de Cauchy)
4. Fonctions méromorphes (classification des singularités isolées, fonctions méromorphes, théorème des résidus, séries de Laurent)
5. Théorème de la représentation conforme de Riemann

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Le but du cours est d'affermir les connaissances sur les équations différentielles ordinaires (EDO) en mettant l'accent sur des questions de dynamique, mais aussi de donner de nouveaux outils d'analyse, et d'introduire quelques questions liées aux équations aux dérivées partielles.

Descriptif

1. Théorèmes d'existence locale pour le problème de Cauchy : Formulation intégrale d'une EDO, théorème de Cauchy-Lipschitz (en dimension finie et dans un espace de Banach quelconque) et théorème de Cauchy-Peano.
2. Lemme de Gronwall : Unicité dans le cadre du théorème de Cauchy- Lipschitz. Solutions maximales.
3. Existence globale et explosion : théorème des bouts.
4. Étude qualitative en dimension 1 : Principe de comparaison, critères d'existence globale, exemples d'explosion en temps fini, comportement asymptotique des solutions.
5. Flot associé à une EDO : Dépendance par rapport aux données initiales ; théorème de redressement du flot.
6. Comportement en temps grand des solutions des EDO autonomes : Stabilité et stabilité asymptotique des points d'équilibre ; cas des puits linéaires ; théorèmes de Lyapunov.
7. EDO d'ordre 2 : Théorèmes d'oscillation et de comparaison, problème de Sturm-Liouville.
8. Théorie hilbertienne des séries de Fourier en une variable. Utilisation des séries de Fourier pour la résolution de l'équation de la chaleur sur un segment.
9. Convolution et transformation de Fourier dans R^d : Convolution de deux fonctions dans L¹(R^d). Transformation de Fourier sur L¹(R^d). Transformée de Fourier d'un produit de convolution. Transformée de Fourier de la densité d’une gaussienne centrée. Formule d'inversion pour une fonction intégrable ayant une transformée de Fourier intégrable. Formule de Plancherel. Définition de la transformée de Fourier d'une fonction de L²(R^d). Convolution de deux mesures positives finies. Cas où l'une des deux mesures possède une densité.

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Il s'agit de viser le niveau de qualification B2 du Conseil de l'Europe, défini par ALTE, dans trois champs de compétences :

1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l'information pertinente et en saisir l'essentiel
3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision

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La statistique est la science dont l'objet est de recueillir, de traiter et d'analyser des

données issues de l'observation de phénomènes aléatoires, c'est-à-dire dans lesquels le

hasard intervient.

La statistique est un outil essentiel pour la compréhension et la gestion des phénomènes complexes (météorologiques, physiques, biologiques…), puisqu’elle permet, via l’analyse des données, de décrire ces phénomènes, de faire des prévisions et de prendre des décisions à leur sujet. 

Nous aborderons dans ce cours la statistique univariée, en commençant par les outils d’analyse descriptive, puis par l’estimation et les tests statistiques pour des modèles paramétriques. Enfin nous aborderons la notion d’estimation non paramétrique. Les différentes notions seront illustrées à l’aide du logiciel R.

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Cette UE propose une découverte de la recherche en mathématiques à travers l'étude d'un sujet décrivant un résultat ou une théorie mathématique, avec lesquels l'étudiant.e devra se familiariser afin de se les approprier et de pouvoir en rendre compte par un rapport écrit et un exposé oral.

En pratique, une liste de sujets est proposée au cours du premier semestre. Chaque étudiant.e sélectionne dans cette liste quatre sujets, classés de 1 à 4, puis le responsable de la formation attribue à chaque étudiant.e un sujet figurant dans la mesure du possible parmi ces quatre-là. Dès les attributions connues, chaque étudiant.e contacte l'auteur.e de son sujet, qui va l'encadrer pour ce travail tout au long du second semestre. Une fois que l'encadrant.e a présenté à l'étudiant.e le sujet et les détails du travail attendu, le binôme se rencontre régulièrement afin que l'étudiant.e puisse rendre compte de l'avancement de son travail et progresser dans celui-ci.

Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport écrit, rédigé en utilisant le logiciel LaTeX, comportant obligatoirement un résumé et une bibliographie, et à une soutenance orale d'une durée de 20 à 30 minutes, souvent suivie de questions, devant un jury qui comprend l'encadrant.e. Le rapport et la soutenance contribuent conjointement à l'évaluation du travail réalisé.

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Descriptif (sous réserve d'aménagements)

1. Motivation et premières notions
   • Définition d'une représentation d'un groupe ; motivations (cristallographie, polyèdres, virologie, classification des groupes) ; morphismes, isomorphismes.
   • Objectif : classification des représentations
2. Exemples
   • Représentations de dimension 1, représentation associée à une action, représentation régulière. Groupes d'isométries conservant une partie finie.
   • Automorphismes de structures. Sommes directes.
3. Décomposition des représentations
   • Sous-représentations, quotient, supplémentaire.
   • Théorème de Maschke. Représentations irréductibles, condition suffisante pour l'existence d'une décomposition en somme de représentations irréductibles. Lemme de Schur, applications.
   • Composantes isotypiques, description des morphismes.
4. Théorie des caractères, classification des représentations complexes.
   • Définition des caractères, exemples, relation d'orthogonalité des caractères, relation d'orthonormalité de Schur. Nombre de représentations irréductibles.
5. Tables de caractères
   • Définition, le cas des groupes abéliens finis, les groupes diédraux, le groupe alterné sur 4 éléments.
6. Compléments d'algèbre linéaire
   • Module sur un anneau (non nécessairement commutatif). Lien entre représentations et modules sur l'algèbre du groupe. Sous-modules simples et représentations irréductibles, lemme de Schur. Calcul matriciel dans le cas non commutatif, théorème de décomposition de l'algèbre de groupe. Produit tensoriel pour des modules. Propriété universelle, compatibilité avec la somme directe, base. Produit tensoriel de représentations, extension des scalaires. Sous-groupes, restriction, induction, caractère de la représentation induite.
7. Intégrité des caractères et applications
   • Notion d'élément entier dans une algèbre, centre de l'algèbre d'un groupe, la dimension d'une représentation complexe irréductible divise le cardinal du groupe. Seconde relation d'orthogonalité de Schur, théorème de Burnside.
8. Transformée de Fourier discrète
   • Groupe des caractères, définition de la transformée, analogie avec les autres transformées de Fourier, utilité

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1. Rappels sur le calcul différentiel dans l’espace euclidien ^{n n m}
2. Courbes et repères
3. Calcul différentiel sur les surfaces de ℝ^{3 3}
4. Variétés abstraites
5. Courbure
6. Géométrie des surfaces de ℝ³ theorema egregium
7. Théorème de Gauss-Bonnet

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Le but de ce cours est de démontrer les principaux théorèmes qui servent de base à l'analyse dans les espaces de Banach de dimension infinie, et d'en présenter un certain nombre d'applications.

Descriptif

1. Espaces de Banach : exemples classiques, théorèmes de complétude, inégalités fondamentales. Opérateurs linéaires bornés entre deux espaces, formes linéaires, espace dual.
2. Théorème de Hahn-Banach : axiome du choix, lemme de Zorn, et forme analytique du théorème. Bidual d'un espace de Banach, réflexivité. Dual des espaces ℓ^p(N) et L^p(Ω).
3. Lemme de Baire et théorème de Banach-Steinhaus. Convergence faible d'une suite dans un espace de Banach, et convergence faible-étoile d'une suite dans son dual. Compacité séquentielle faible de la boule unité d'un espace réflexif.
4. Théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé. Supplémentaire topologique d'un sous-espace fermé, projecteurs continus, opérateurs inversibles à gauche ou à droite.
5. Introduction à la théorie spectrale des opérateurs linéaires bornés dans un espace de Banach. Spectre, ensemble résolvant, opérateur résolvant, rayon spectral. Éventuellement : théorie spectrale des opérateurs compacts.
6. Espaces de Sobolev en dimension un. Espaces H¹(I) et H¹₀(I) où I est un intervalle borné : inégalité de Poincaré, injection dans les fonctions continues, caractérisation à l'aide des séries de Fourier. Espace H¹(R), caractérisation à l'aide de la transformée de Fourier. Application à la résolution de problèmes elliptiques en dimension un.

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1. Espérance conditionnelle
2. Généralités sur les processus stochastiques à temps discret
   • Construction, espace canonique, filtrations, temps d'arrêt
3. Martingales à temps discret
   • Théorèmes d'arrêt, théorèmes de convergence, martingales régulières (voir note), applications (ruine du joueur, processus de Galton-Watson, etc.)
4. Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable
   • Aspects algébriques et probabilistes, propriété de Markov, classification des états, récurrence, transience, périodicité, lois stationnaires, théorème ergodique (dans le cas récurrent positif), convergence vers la loi stationnaire, exemples et applications (modèles de diffusion, modèles génétiques, files d'attente, etc.)

Note : Le temps imparti ne permet pas de démontrer le théorème de convergence des martingales, sauf dans le cas de carré intégrable, ni de caractériser complètement les martingales régulières.

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Cette UE est une exposition des fondements mathématiques de certains protocoles et de certaines méthodes utiles en cryptologie moderne.

1- Arithmétique modulaire, et applications

2- Codes correcteurs d'erreurs

3- Suites récurrentes linéaires, registres à décalage, et corrélations

4- Protocoles asymétriques, Diffie Hellman ; El Gamal ; RSA

5- Sécurité et attaques

6- Trouver des nombres premiers, tests de primalité.

Au cours des thèmes abordés, on expérimentera en TP certaines notions avec des outils de calcul formel.

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Attention : le theme général du M2 de Maths Fonda change tous les ans. Cette description concerne le parcours de l'année 2017-2018.

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Attention : le programme du parcours de M2 Maths Fonda change tous les ans. La description qui suit concerne l'année 2017-18

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Algebraic flows, and more generally flows defined on homogeneous spaces of (real) Lie groups, have been studied for more than a hundred years with many important advances over the last four decades. There are interesting applications in various areas, especially :

Diophantine approximation

counting lattice points

representations of numbers by real quadratic forms in several variables.

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Projet de recherche de fin d'études.

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https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/m2r/?q=content/academic-year-2023-2024-geometrical-aspects-probability

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Projet de recherche de fin d'études.

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