UE Algèbre

Théorie des groupes

Théorie élémentaire (sous-groupes, morphismes, sous-groupe engendré par une partie, cas de Z, groupes monogènes, cycliques, ordre
d’un élément, centre, produit direct, groupes d’automorphismes, sous-groupes distingués).

Groupes orthogonaux  O(E), SO(E), pour E un espace euclidien, familles génératrices
des reflexions et des renversements. Groupes GL_n(K), SL_n(K), famille des transvections, dilatations. Lien avec les opérations élémentaires sur les lignes et colonnes.

Classes latérales,   groupes quotients. Exemple : Z/nZ. Théorème de
Lagrange, factorisation des morphismes. Théorèmes d’isomorphismes.

Actions de groupes,   exemple de l’action d’un sous-groupe par multiplication à
gauche, par conjugaison. Vocabulaire : orbite, stabilisateur, noyau, action fidèle,
transitive, équation aux classes, théorème orbite/stabilisateur.

Groupes symétriques,   décomposition en cycles, classes de conjugaison (éventuelle-
ment, lien avec les partitions d’entiers), signature, groupe alterné, pour n plus grand que 5 : simplicité de A_n , sous groupes distingués de S_n.

Produits directs et semi-directs, éléments de structure des groupes finis  Cauchy, Fermat, Frobenius, nombre de points fixes lorsque G est un p-groupe, le centre dun
p-groupe est non trivial. Théorèmes de Sylow.

Introduction à la théorie des anneaux

Généralités, anneaux, sous-anneaux, morphisme d’anneaux, idéaux, idéal engendré,
exemples de Z et ses idéaux. Anneaux produits A^X , M_n (A). Anneaux de polynômes,
A[X], propriété universelle. Anneaux intègres, corps, idéal maximal, existence des
idéaux maximaux contenant un idéal strict donné (possiblement admis)

Anneaux principaux, euclidiens et leur arithmétique, pgcd, ppcm, interprétés en termes de somme et d’intersection.
Anneaux euclidiens, exemples, principalité, algorithme d’Euclide étendu.

Anneaux quotients, théorème de factorisation, théorèmes d’isomorphismes. Caractérisation des idéaux premiers et maximaux en termes d’anneau quotient, théorème
des restes Chinois. On insistera sur Z et K[X]. Caractérisation des anneaux quotients de Z et K[X] qui sont des corps en termes de primalité et d’irréductibilité
des générateurs d’idéaux.

Compléments d'Algèbre linéaire

Dualité, en dimension finie, base duale, orthogonalité, hyperplans, base anteduale,
endomorphisme adjoint et transposition.

Réduction des endomorphismes normaux d’un espace euclidien, application aux en-
domorphismes symétriques, antisymétriques, et aux isométries. On pourra évoquer
le cas hermitien.

Décomposition de Dunford (vue en TD),

Contenu de MAT301 et MAT 401. En particulier, arithmétique et réduction d'endomorphismes. (On vérifiera en TD que les notions suivantes sont assimilées : polynome caractéristique, polynome d'endomorphisme, polynome minimal, diagonalisation, espaces euclidiens, déterminants)

Rappels de théorie des ensemble élémentaires