UE Analyse fonctionnelle

Le but de ce cours est de démontrer les principaux théorèmes qui servent de base à l'analyse dans les espaces de Banach de dimension infinie, et d'en présenter un certain nombre d'applications.

Descriptif

1. Espaces de Banach : exemples classiques, théorèmes de complétude, inégalités fondamentales. Opérateurs linéaires bornés entre deux espaces, formes linéaires, espace dual.
2. Théorème de Hahn-Banach : axiome du choix, lemme de Zorn, et forme analytique du théorème. Bidual d'un espace de Banach, réflexivité. Dual des espaces ℓ^p(N) et L^p(Ω).
3. Lemme de Baire et théorème de Banach-Steinhaus. Convergence faible d'une suite dans un espace de Banach, et convergence faible-étoile d'une suite dans son dual. Compacité séquentielle faible de la boule unité d'un espace réflexif.
4. Théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé. Supplémentaire topologique d'un sous-espace fermé, projecteurs continus, opérateurs inversibles à gauche ou à droite.
5. Introduction à la théorie spectrale des opérateurs linéaires bornés dans un espace de Banach. Spectre, ensemble résolvant, opérateur résolvant, rayon spectral. Éventuellement : théorie spectrale des opérateurs compacts.
6. Espaces de Sobolev en dimension un. Espaces H¹(I) et H¹₀(I) où I est un intervalle borné : inégalité de Poincaré, injection dans les fonctions continues, caractérisation à l'aide des séries de Fourier. Espace H¹(R), caractérisation à l'aide de la transformée de Fourier. Application à la résolution de problèmes elliptiques en dimension un.

• Le cours repose essentiellement sur la topologie des espaces métriques et des espaces vectoriels normés étudiée au premier semestre du L3. Le langage de la topologie générale est également utilisé.
• La théorie de l'intégration vue au second semestre du L3 est nécessaire pour traiter des exemples classiques comme les espaces L^p.
• Les séries de Fourier et la transformation de Fourier, qui figurent au programme du cours Équations différentielles ordinaires au premier semestre du M1, interviennent dans l'étude des espaces de Sobolev.

Documentation principale

Le contenu du cours est entièrement couvert par l'excellent ouvrage classique de H. Brézis (en version originale française, ou en version anglaise revue et augmentée) ci-dessous.

• Haïm Brézis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications, Masson, Paris, 1983
• Haïm Brézis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, 2011

Documentation supplémentaire

• Daniel Li, Hervé Queffélec, Introduction à l'étude des espaces de Banach. Analyse et probabilités, Cours Spécialisés 12, SMF, Paris, 2004
• Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri, Classical Banach spaces (2 volumes), Springer, Berlin, 1979
• Michael Reed, Barry Simon, Methods of modern mathematical physics. I. Functional analysis, Academic Press, New-York, 1980
• Walter Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, New York, 1991 (traduction française, Ediscience, Paris, 1995)