Préparation à l'agrégation (Algèbre Analyse Modélisation)

I. Compléments sur les anneaux

1. Groupe des éléments inversibles. (ℤ/nℤ)^∗, fonction d’Euler. Éléments irréductibles et éléments premiers. Pgcd et ppcm.
2. Notion d’algèbre. Algèbre des polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques. Liens entre coefficients et racines d’un polynôme. En TD : séries formelles en une variable. Corps des fractions d’un anneau intègre.
3. Anneaux noethériens, théorème de la base de Hilbert.
4. Anneaux factoriels. Lemme de Gauss et lemme d'Euclide. Exemple : les anneaux principaux. Théorème de Gauss sur A[X], pour A factoriel. Polynômes irréductibles, critères d’irréductibilité sur A factoriel (Eisenstein, etc.).

II. Corps (les corps considérés sont commutatifs)

1. Extensions de corps, degrés, multiplicité. Éléments algébriques, éléments transcendants, polynôme minimal, extension algébrique.
2. Corps de rupture, corps de décomposition d’un polynôme.
3. Clôture algébrique (définition), le corps ℂ des nombres complexes est algébriquement clos. Énoncé du théorème de Steinitz.
4. Corps finis, existence et unicité, structure multiplicative. Racines de l’unité, polynômes cyclotomiques, irréductibilité sur ℤ.

III. Représentations des groupes finis sur ℂ

1. Représentations d’un groupe fini. Représentations par permutations, représentations régulières.
2. Représentations irréductibles, Théorème de Maschke.
3. Morphismes de représentations. Lemme de Schur.
4. Caractères. Caractère de Hom(V;W). Orthogonalité et décomposition des représentations. Formule de Burnside. Théorème fondamental de Frobenius et corollaires. Table des caractères. Orthogonalité des colonnes.
5. Exemple : table de 𝔖₄. Noyau d’un caractère. Application : critère de simplicité.
6. Le cas des groupes abéliens. Groupe dual d’un groupe abélien fini. Transformée de Fourier discrète, cas de ℤ/nℤ et (ℤ/nℤ)². Structure des groupes abéliens finis.

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1. Fonctions holomorphes et analytiques, en particulier l’équivalence entre les deux notions, fonction exponentielle et logarithme, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés, formule de Cauchy pour le disque
2. Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes (inégalités de Cauchy, suites et séries de fonctions holomorphes, propriété de la moyenne et principe du maximum)
3. Théorie de Cauchy (existence de primitives, théorèmes de Cauchy)
4. Fonctions méromorphes (classification des singularités isolées, fonctions méromorphes, théorème des résidus, séries de Laurent)
5. Théorème de la représentation conforme de Riemann

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1. Rappels élémentaires de théorie des probabilités
2. Éléments de statistique
3. Espérance conditionnelle
4. Processus à temps discret
5. Martingales
6. Chaînes de Markov

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Espaces de Lebesgue L^p(Omega)
 Densité des fonctions C-infini à support compact dans Lp(Ω)
 Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov (compacité dans Lp(Ω)).
 Eventuellement : convolution L^p-L^q (dans R^n) inégalités de Young. ;  dual de L^p (montré pour \ell^p)
  

Analyse de Fourier
  Rappels sur la transformation de Fourier sur L^1(R^n)
  Transformation de Fourier sur L^2(R^d)
  Espace de Schwartz sur R^d, transformation de Fourier et convolution.
  Eventuellement : brève présentation des distributions tempérées.
  Séries de Fourier sur L^1(T), L^2(T), voire sur T^n
  Application à la résolution des équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger, avec donnée initiale dans S(R^d), L^2(R^d) L^2(T). (et L^p(R^d), pour l’équation de la chaleur, par convolution avec le noyau de la chaleur)
   Résolution de −∆u + u = f dans S(R^d). Terminologie EDP elliptiques, hyperboliques, paraboliques.

Solutions faibles

- pour les équations de transport (∂tu + c · ∂xu = f, c ∈ Rd), avec condition initiale, après résolution du cas classique (C^1) ;

- pour des EDP elliptiques, avec conditions au bord (Dirichlet homogène) : espace de Sobolev H^1 sur I ou Ω, et Rd : caractérisation par Fourier; espace H_0^1 ; lemme de Lax- Milgram.

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Cette UE propose une découverte de la recherche en mathématiques à travers l'étude d'un sujet décrivant un résultat ou une théorie mathématique, avec lesquels l'étudiant.e devra se familiariser afin de se les approprier et de pouvoir en rendre compte par un rapport écrit et un exposé oral.

En pratique, une liste de sujets est proposée au cours du premier semestre. Chaque étudiant.e sélectionne dans cette liste quatre sujets, classés de 1 à 4, puis le responsable de la formation attribue à chaque étudiant.e un sujet figurant dans la mesure du possible parmi ces quatre-là. Dès les attributions connues, chaque étudiant.e contacte l'auteur.e de son sujet, qui va l'encadrer pour ce travail tout au long du second semestre. Une fois que l'encadrant.e a présenté à l'étudiant.e le sujet et les détails du travail attendu, le binôme se rencontre régulièrement afin que l'étudiant.e puisse rendre compte de l'avancement de son travail et progresser dans celui-ci.

Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport écrit, rédigé en utilisant le logiciel LaTeX, comportant obligatoirement un résumé et une bibliographie, et à une soutenance orale d'une durée de 20 à 30 minutes, souvent suivie de questions, devant un jury qui comprend l'encadrant.e. Le rapport et la soutenance contribuent conjointement à l'évaluation du travail réalisé.

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Nous étudierons certains exemples de groupes Fuchsiens, et les pavages du disque qui leurs sont associés. Si le temps le permet, nous aborderons la géométrie hyperbolique de dimension trois sous l'angle des déformations de groupes Fuchsiens.

Descriptif

• Partie I. Géométrie des transformations de Möbius et géométrie hyperbolique
  • Transformation de Möbius, inversions par rapports aux sphères, dans Rⁿ, pour n surtout égal à 1, 2, 3.
  • Plan et espace hyperbolique de dimension 3 : demi-plan et demi espace supérieurs
  • Leurs isométries : interprétation matricielle et holomorphe, interprétation dynamique du spectre des matrices

• Partie II. Groupes Fuchsiens
  • Actions discontinues et groupes discrets sur le plan hyperbolique
  • Théorème de combinaison de Klein. Ping-pong, et sous-groupes libres de PSL(2,R)
  • Cas de PSL(2, Z)

• Partie III. Ensembles limites et fractales
  • Ensemble limite d'un sous-groupe discret de PSL(2,R), et de PSL(2,C)
  • Déformations fractales d'ensembles limites
  • Rencontre et familiarisation avec des outils logiciels d'illustration rigoureuse d'ensembles limites fractales

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L'algèbre effective est le domaine des mathématiques où on s'intéresse au calcul exact des objets intervenant en algèbre au sens large (arithmétique des entiers, arithmétique des polynômes et algèbre linéaire sur un corps fini et sur les rationnels), avec l'objectif de les rendre efficaces par rapport à la taille des données, en estimant leur complexité. Les applications sont nombreuses : calcul formel, cryptographie, codes correcteurs (par exemple QR codes)... On montrera plusieurs exemples où des calculs modulo un nombre premier permet d'accélérer les calculs sur les rationnels.
Une partie des exercices nécessite l'utilisation d'un logiciel de calcul formel tel que Xcas sur PC, mobile ou calculatrice CAS. 

Descriptif

1. Arithmétique des polynômes à 1 variable (dont interpolation et FFT), arithmétique des entiers et liens entre eux. Puissance modulaire rapide, application: test de primalité, RSA.
2. PGCD dans Z/pZ[X]. Application à la simplification dans Q[X]. Irréductibilité dans Z/pZ[X], application à la représentation des corps finis, application à la factorisation dans Q[X]. Calcul efficace dans GF(2,n).
3. Théorème fondemental de l'algèbre : localisation de racines de polynômes dans C[X] (Newton, Aberth ; Sturm, Descartes). Résultant, algorithmes de calcul, application au calcul de primitives de fractions rationnelles, à la résolution de certains systèmes polynomiaux. Générateurs effectifs d'extensions de Q.
4. Matrice à coefficients dans un corps fini et sur les rationnels: réduction de Gauss, déterminant, polynôme caractéristique. Applications : codes correcteurs.

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1. Rappels sur le calcul différentiel dans l’espace euclidien ^{n n m}
2. Courbes et repères
3. Calcul différentiel sur les surfaces de ℝ^{3 3}
4. Variétés abstraites
5. Courbure
6. Géométrie des surfaces de ℝ³ theorema egregium
7. Théorème de Gauss-Bonnet

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La première partie de l'UE sera consacrée à la théorie des chaînes de Markov en temps discret et à espace d'états discret ; il s'agira donc de couvrir un chapitre initialement prévu au programme de l'UE Probabilités du premier semestre que le manque de temps et les lacunes des étudiant·es concernant le programme de L3 empêchent régulièrement de traiter.
La deuxième partie constituera une introduction à la mécanique statistique, plus particulièrement à l'étude mathématique des transitions de phase dans des modèles sur réseau. On étudiera en détail le cas de référence du modèle d'Ising, l'un des modèles les plus célèbres et les plus étudiés dans ce domaine.
Si le temps le permet, une troisième partie présentera une introduction à des modèles de chaînes de Markov indexées par les arbres (percolation et modèle d'Ising sur des arbres).

Insertion dans le cursus de master Une partie du contenu de cette UE est au programme de l'agrégation : traitement complet des chaînes de Markov dans ce cadre, espérances conditionnelles, éventuelle\-ment un peu de martingales (convergence de martingales rétrogrades pour l'existence de mesures en volume infini à travers les équations DLR), topologies faibles, etc.
Il peut également servir à renouveler les exemples mobilisables dans ce contexte pour l'option A : conditionnements spatiaux, situations de TCL/non-TCL pour des variables aléatoires non indépendantes (convergence ou non de la magnétisation moyenne à haute température ou à basse température), dynamique de Glauber et algorithme de Metropolis-Hastings, etc.
Enfin, il vise à aborder, spécialement dans la troisième partie, des situations de recherche actuelles.

Simulations du modèle d'Ising sur le réseau carré à basse température (à gauche, phase ferromagnétique) et à haute température (à droite, phase paramagnétique)

Programme prévisionnel

• Partie I. Chaînes de Markov
  • Classification des états
  • Propriété de Markov forte
  • Mesure invariante (conditions d'existence, unicité)
  • Théorème ergodique

• Partie II. Modèle d'Ising
  • Le modèle de Curie-Weiss -- Un modèle sans géométrie
  • Mesures de Gibbs en volume fini
  • Limite thermodynamique -- Pression et magnétisation
  • Le modèle d'Ising sur Z -- Matrices de transfert
  • Mesures en volume infini
  • Fonctions locales et inégalités de corrélation
  • Diagramme de phase du modèle d'Ising sur Z^d, d>1
  • Critères d'unicité
  • Brisure de symétrie à basse température -- Argument de Peierls
  • Unicité à haute température
  • Unicité en champ magnétique non nul -- Théorème de Lee-Yang

• Partie III. Chaînes de Markov indexées par les arbres
  • Mesures de Gibbs sur les arbres
  • Lois de bord
  • Percolation, Ising
  • Extrémalité et critères de reconstruction

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Le but de ce cours est d'introduire les étudiants aux bases de la théorie spectrale des opérateurs elliptiques sur des domaines, et de voir quelques applications, notamment dans le cadre de la mécanique quantique.
Un des résultats clés du cours sera le fait que le Laplacien avec condition de Dirichlet dans un domaine Ω borné et lisse de R^d admet une base hilbertienne de fonctions propres régulières e_n vérifiant -Δ e_n = λ _ne_n, où λ _n → +∞ avec n∈ N.
Ce résultat sera un prétexte à l'étude de différents concepts : opérateurs compacts, ou à résolvante compacte, dans les espaces de Hilbert et leur "diagonalisation", espaces de Sobolev H^k( Ω) et leurs propriétés (injections de Sobolev par exemple), régularité des solutions d'EDP elliptiques.

Dans un second temps, nous souhaitons aussi présenter des applications à la théorie spectrale des opérateurs emblématiques de la mécanique quantique.
Le formalisme mathématique de la mécanique quantique sere présenté, puis nous discuterons le spectre de certains opérateurs de Schrödinger -Δ +V tels l'oscillateur harmonique ou le Laplacien sur le tore. Nous aborderons également l'existence et les propriétés de fonctions propres associées à la plus basse valeur propre d'un opérateur de Schrödinger en fonction du potentiel V via l'approche variationnelle.

Plus généralement, nous présenterons la caractérisation du spectre d'opérateurs par le min-max des quotients de Rayleigh, ainsi que le théorème de Courant sur le nombre de domaines nodaux des fonctions propres du Laplacien, et l'asymptotique de Weyl pour les valeurs propres sur un domaine. Des exemples simples de problèmes d'optimisation spectrale pourront aussi être présentés en TD, en fonction du temps disponible.

programme préliminaire

• Préliminaires sur les espaces de Hilbert : bases hilbertiennes, Lax-Milgram (en fonction de ce qui sera fait dans le cours du S1).
• Opérateurs compacts. Définition et propriétés du spectre. Théorème spectral pour les opérateurs compacts.
• Espaces de Sobolev H^k( Ω) sur des ouverts bornés réguliers de R^d, et leurs propriétés.
• Existence d'une base hilbertienne de fonctions propres pour le Laplacien sur un domaine borné régulier.
• Régularité elliptique et régularité des fonctions propres.
• Principes variationnels, min-max pour les valeurs propres.
• Le formalisme de la mécanique quantique : vecteur d'état/fonction d'ondes, opérateur Hamiltonien, évolution/équation de Schrödinger, observable, processus de mesure en mécanique quantique.
• Le spectre de certains opérateurs de Schrödinger -Δ +V dans R^d et les propriétés de son état fondamental. Exemple de l'oscillateur harmonique, du Laplacien sur le tore, de la particule dans un champ magnétique.
• Un peu de géométrie spectrale : théorème de Courant sur les domaines nodaux, asymptotique de Weyl. Optimisation spectrale dans des cas simples.

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The main objective of this course is to provide basics tools in operations research

- Contents

What is OR?
Linear Programming
Duality
Mixed Integer Programming
Dynamic programming
Constraint Programming
Complexity theory and Scheduling

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Skills

• Recognize a situation where Operations Research is relevant.
• Know the main tools of Operations Research.
• Have the methodological elements to choose the solution methods and the tools the most adapted for a given practical problem.
• Know how to manipulate the software tools to solve a discrete optimization problem.

The course covers various topics:

• Linear Programming (modelling, solving, duality)
• Mixed Integer Linear Programming (modelling techniques, solving with Branch and Bound)
• Dynamic Programming
• Bonus (riddles, elsewhere on the web, OR News)

More details : https://moodle.caseine.org/course/view.php?id=42

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In this part, we will investigate in more details some mathematical notions related to operations research. We will focus on three aspects: Spectral graph theory, Game theory, and Numerical Optimal transport. For each of these themes, we will see how these theoretical results relate to practical operations research problem and finally illustrate them numerically in Python.

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Il s'agit de viser le niveau de qualification B2 du Conseil de l'Europe, défini par ALTE, dans trois champs de compétences :

1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l'information pertinente et en saisir l'essentiel
3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision

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