Parcours Mécanique 3e année

L'objectif du cours est d'étudier les fonctions de plusieurs variables
réelles. Nous expliquerons comment les notions vues en L1 dans le
cours d'analyse, comme les concepts de continuité, de dérivabilité,
d'intégration et l'étude des points critiques, sont étendues dans ce
cadre. Nous étudierons également d'autres notions très utiles en
physique, comme les formes différentielles, leur intégration, les
équations aux dérivées partielles et certains opérateurs classiques
(gradient, laplacien, rotationnel, divergence...).
L'étude des points critiques d'une fonction de plusieurs variables
nécessite certains outils de l'algèbre linéaire, comme la théorie de
la diagonalisation des matrices symétriques. Nous consacrerons donc
une partie du cours à l'introduction et au développement de ce thème.

Programme détaillé :
- systèmes de coordonnées dans R^2 et R^3
- fonctions de plusieurs variables et repères mobiles attachés aux
différents systèmes de coordonnées
- représentation graphique des fonctions de deux variables, continuité
- dérivation des fonctions de plusieurs variables
-formes différentielles
- différentielle d'une composition de fonctions, application aux EDP,dérivées d'ordre supérieure
- formes différentielles exactes
- opérateurs classiques
- intégrales doubles
- intégrales triples, intégrales curvilignes et formule de Green-Riemann
- matrices, matrice d'une application linéaire, matrice de passage
- rang d'une matrice, applications, matrices inversibles et calcul de
l'inverse
- déterminant et méthodes de calcul
- diagonalisation, valeurs propres et vecteurs propres
- algorithme de diagonalisation, matrices définies positives/négatives
- étude des points critiques et extrema des fonctions de plusieurs variables

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Ce cours est composé de deux grandes parties :

* étude des courbes paramétrées, en distinguant propriétés cinématiques (dépendant du paramétrage comme la vitesse, l’accélération) et propriétés géométriques d’une courbe (c’est-à-dire intrinsèques, indépendamment du paramétrage, par exemple la longueur, la courbure, l'aire). 

* équations différentielles : nous expliquerons en quoi le théorème de Cauchy-Lipschitz est le fondement de la théorie des EDO (Équations différentielles Ordinaires), puis nous apprendrons les méthodes principales de résolution explicite. On terminera par une petite introduction au calcul variationnel.

L'objectif premier de ce cours est de fournir des outils pour étudier des problèmes venant de la physique, chimie ou mécanique. Le second objectif est d'apprendre à manipuler un logiciel de calcul formel, pour permettre de réaliser et/ou de vérifier des calculs fastidieux. Cette utilisation intelligente d'un logiciel de calcul est une démarche fondamentale pour des parcours d’ingénierie ou de recherche en physique/mécanique.

Chapitre 1 : courbes paramétrées et polaires
- Représentation graphique et paramétrage
- Etude analytique des courbes paramétriques et polaires
Chapitre 2 : propriétés métriques des courbes et formes différentielles
- Longueur d'arc
- Repère de Frenet et courbure
- Formes différentielles et intégrales curvilignes
Chapitre 3 : Équations Différentielles Ordinaires
- Définitions et théorème de Cauchy Lipschitz
- Méthodes de résolution explicite
Chapitre 4 : Introduction au calcul variationnel

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Cette UE vise à découvrir la mécanique des solides et des systèmes de solides indéformables.

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Electrostatique et Magnétostatique avec une ouverture sur l'électromagnétisme dans le vide.

Electrostatique : loi de Coulomb, théorème de Gauss, potentiel scalaire, dipôle électrique, théorème de Coulomb, notion de capacité, énergie potentielle électrostatique.

Electrocinétique : densité de courant, loi d'Ohm. Magnétostatique : force de Lorentz, relations de Biot-Savart, conservation du flux, théorème d'Ampère, force de Laplace. Induction magnétique : loi de Faraday, loi de Lenz, auto-induction, induction mutuelle.

Electromagnétisme : équations de Maxwell et prédiction de l'existence des ondes électromagnétiques dans le vide.

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Thermodynamique macroscopique :
 -Notions de base : Gaz Parfait, théorie cinétique, coefficients thermoélastiques, réversibilité
- Premier principe : échanges d'énergie sous forme de chaleur et de travail, coefficients thermiques, lois de Joule.
- Second Principe : énoncés historiques, cycles dithermes et polythermes, énoncé macroscopique, approche statistique,
troisième principe
- Machines thermiques : moteur, réfrigérateur, pompe à chaleur
- Fonctions thermodynamiques : Enthalpie, Énergie libre, Enthalpie libre, relations de Maxwell et de Clapeyron
- Transitions de phase du corps pur : point triple, point critique, chaleurs latentes.

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L'objectif pédagogique du processus d’exploration professionnel est de rendre les étudiants acteurs de leur parcours en s’appropriant une démarche de réflexion et d’exploration autour du projet de formation, aider les étudiants à prendre des décisions  sur son projet professionnel et sa poursuite d'études.

Pour ce faire , les étudiants sont amenés à développer une vision plus précise des métiers auxquels mène la formation et connaître mieux les formations à leur disposition ainsi que leurs débouchés.

Ils découvrent le monde professionnel à travers des entretiens, des salons métiers.

Cette UE est développé en lien avec l'Espace OIP de l'UGA.

Les étudiants développeront des compétences visant à développer leur portefeuille d’expériences et compétences (PEC) et à ravailler en autonomie et  en équipe.

Une grande partie du travail se fait en autonomie et par groupe.

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Objectif : approcher une fonction f sur une période par des sommes de fonctions sinus/cosinus élémentaires, par exemple ci-dessous f en noir est approchée de plus en plus précisément par une somme de 5, 10 ou 20 sinus.

Applications : décomposition du son en harmoniques fondamentales, résolution de l’équation de la chaleur ...

Contenu : mélange analyse (somme d’un nombre de termes tendant vers l’infini) et algèbre dans des espaces vectoriels de dimension pouvant être infinie (dont les vecteurs sont eux-mêmes des fonctions) et munis de produits scalaires ou de formes bilinéaires plus générales.  

https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/mat404/mat404pres.pdf
 


https://interstices.info/la-decomposition-en-series-de-fourier/

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Cours d'introduction des concepts de base de la mécanique des fluides. Forces dans les fluides (pression et friction visqueuse), statique des fluides, écoulement incompressible, équations de Navier-Stokes, fluides parfaits et relation de Bernoulli. Résolution des équations de Navier-Stokes pour des écoulements simples dominés par la viscosité.

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Vibrations-ondes et optique ondulatoire: étude des phénomènes vibratoires, des ondes (mécaniques, acoustiques) et en particulier de l'optique ondulatoire :

- Notion d'ondes
- Ondes sonores
- Réflexion transmission, ondes stationnaires
- Notion de chemin optique
- Polarisation de la lumière, polariseurs et lames biréfringentes
- Interférences à deux ondes (division du front d'onde et division d'amplitude)
- interférences à N ondes : réseaux et cavité Fabry-Pérot

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Projets expérimentaux:  enseignement donnant une part importante à l'expérimentation et au travail personnel (projet + exposé). Objectifs : acquérir des points de repère, et de la méthode dans le travail expérimental qui comporte une part de modélisation et de nombreuses mesures de phénomènes physiques. Thèmes proposés en option :
- Acoustique
- Radioactivité
- Énergétique Physique
- Optique

La méthodologie d'enseignement varie selon les options : apprentissage par projet, projets personnels, cours, TD et TP sont utilisés afin d'aider les étudiants à progresser dans l'acquisition de la méthode expérimentale moderne.

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La théorie des probabilités, c'est à dire l'étude mathématique des phénomènes aléatoires, occupe aujourd’hui une place centrale dans la plupart des sciences, tout d’abord, de par ses applications pratiques. En plus d'être la base des statistiques, elle permet la modélisation de nombreux phénomènes, aussi bien en sciences naturelles (physique, chimie, biologie, climatologie, etc.) qu’en sciences humaines (économie, sociologie, par exemple).

Chapitre 1 : Un peu d'analyse combinatoire

 Modélisation des phénomènes aléatoires. Cardinal d'un ensemble.  Analyse combinatoire : dénombrement de fonctions entre ensembles, dénombrement des parties d’un ensemble, partitionnement.

Chapitre 2 : Espace probabilisé

Tribus et probabilités. Indépendance. Probabilités conditionnelles

Chapitre 3 : Variables aléatoires

 Variables aléatoires discrètes : exemples importants, vecteurs aléatoires discrets, espérance, variance, fonctions génératrices. Variables aléatoires à densité. Convergences de suite de variables aléatoires

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Représentation des nombres dans un ordinateur, problèmes de précision et
sensibilisation à la gestion des erreurs.
• Résolution d’équations non linéaires : principe de dichotomie, méthode de Newton,
équations polynomiales.
• Approximation polynomiale : polynômes de Lagrange, polynômes orthogonaux.
• Intégration numérique : méthodes des rectangles, des trapèzes, de Newton-Cotes et
de Gauss-Legendre
• Autres thématiques : algèbre linéaire, équation différentielle...

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PHY404 comporte une grande partie expérimentale et le cœur de l'UE est
la fabrication d'un instrument comportant capteur(s), microcontrôleur
Arduino et actionneur(s). L'instrument met en jeu un phénomène physique,
mesure une grandeur physique et adapte une réponse à cette mesure. Le
projet comprend la conception (cahier des charges, recherche du capteur
pertinent, de l'actionneur),  le développement (mécanique, électronique,
algorithmique) et la finalisation (test, étalonnage) de l'instrument.

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Cette UE traite les trois disciplines que sont la géodésie, la gravimétrie et la géothermie. Les notions abordées en géodésie sont la forme géométrique de la Terre, l'ellipsoïde de référence, les systèmes de référence globaux et locaux, les coordonnées géodésiques et les projections planes, les mesures satellitaires,  le positionnement et les techniques de triangulation. Les notions abordées en gravimétrie sont le champ de gravité terrestre, le géoïde terrestre, les mesures du champ de pesanteur, les corrections de ces mesures, les anomalies gravimétriques et l'isostasie. Les notions abordées en géothermie sont
les modes de transport de la chaleur, la conduction thermique et la loi de Fourier, les observations du flux géothermique, le bilan thermique global de la Terre, l'équation de la chaleur et ses solutions, le refroidissement de la lithosphère, la convection mantellique , le géotherme terrestre et l'utilisation de la géothermie.

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Cours de relativité restreinte. On va construire une nouvelle théorie de la relativité dans laquelle ce n'est plus le temps qui est absolu, mais la vitesse de la lumière. On montrera que ceci implique de revoir entièrement la notion d'espace et de temps et que ça permet  de construire une nouvelle entité -- l'espace-temps -- dotée d'une distance. De même, on montrera que dans ce nouveau contexte, il faut redéfinir les grandeurs cinématiques et dynamiques telles que l'énergie et l'impulsion. On établira la correspondance entre l'énergie au repos et la masse d'un objet et l’on montrera que l'on peut décrire des réactions ou on utilise de l'énergie pour créer de la matière et inversement.

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Outils mathématiques (Espace affine, vectoriel- Vecteurs, tenseurs- Notations indicielles- Opérateurs différentiels).

Efforts intérieurs d’un milieu continu (Vecteur et tenseur contrainte de Cauchy- Principe fondamental de la dynamique local. Représentation de Mohr et critères de résistance (Tresca et Mohr Coulomb))

Cinématique Milieux continus (Descriptions Lagrangienne et Eulérienne ,Dérivées Matérielles, Sur la configuration actuelle,  Taux de déformation, Puissance des efforts intérieurs.)

Cinématique Milieux continus - Tenseurs de déformation C, E, b-1 et e.

Lois de comportement simples (Fluides visqueux Newtonien ou en loi puissance- Elasticité linéaire en petites déformations et petits déplacements)

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- Théorie des poutres dans des cas isostatiques (problème 3D, modélisations de cas réels).
- Cas des poutres hyperstatiques.
- Théorèmes liés à l'énergie de déformation élastique appliquée aux poutres.

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Savoir lire/écrire un dessin technique décrivant la forme d’une pièce ou d’un assemblage de pièces.

• D’une pièce existante vers le dessin technique comportant plusieurs vues,
• D’un dessin technique vers une pièce en 3D (CAO).

Acquérir le vocabulaire essentiel des différentes géométries et pièces courantes rencontrées.

Savoir représenter les mouvements d’un mécanisme sous la forme d’un schéma cinématique.

• D’un mécanisme existant vers un schéma cinématique.
• D’un dessin d’ensemble vers un schéma cinématique.

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L’analyse numérique a pour objectif la recherche et l’optimisation de méthodes qui permettent d’approcher la solution d’un problème mathématique pour lequel la solution exacte est compliquée analytiquement ou inaccessible. L’usage de cette branche des mathématiques appliquées et la programmation numérique s’est fortement développé dans tous les domaines scientifiques avec la montée en puissance des moyens de calcul informatique afin de réaliser des simulations numériques toujours plus complexes et gourmandes en temps de calcul (par exemple techniques de l’intelligence artificielle).

L’objectif de ce cours est avant tout d’expliquer le principe de quelques méthodes élémentaires d’intérêt pour la résolution numérique de problèmes en sciences.

Plan du cours magistral

Erreurs et approximations en analyse numérique

Equations non lineaires

Interpolation

Derivation et integration numerique

Equation differentielle ordinaire

Systemes d’equations lineaires

TD/TP : exercices/problèmes typiques de résolution, à la fois en mathématiques appliquées et en programmation python via des jupyter notebook

Contrôle continu : projet numérique

Examen terminal : résolution de problèmes

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Savoir identifier les degrés de liberté et le paramétrage adapté à un système mécanique.

Savoir appliquer les différents théorèmes de la mécanique selon le problème.

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- Maîtriser la manipulation d'équations aux dérivées partielles

- Séries de Fourier et applications

- Calcul d’intégrales en utilisant le théorème des résidus

Quelques méthodes de résolution des équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes :
- transformations intégrales (Fourier, Laplace)
- séries de Fourier
- recherche de solution par séparation des variables
- Calcul des intégrales en utilisant le théorème des résidus

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Introduction aux circuits hydrauliques.

 Notions de charge et perte de charge dans les conduits.

Introduction aux pompes.

Vérification et sélection des pompes.

Réseaux : configuration en série et en parallèle des pompes et conduits.

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Initiation à l’acoustique dans les fluides et dans l’approximation linéaire. Il s’agit d’étudier les notions de base de la propagation d’ondes : propagation, ondes planes ou sphériques, passage d’une interface, guidage d’ondes, rayonnement par un piston... Le cours est complété par des séances de TD et TP.

Programme résumé :

Dérivation de l’équation de propagation dans des cas simples (fluide homogène au repos ou en mouvement à une vitesse uniforme). Étude de quelques solutions simples (ondes planes, ondes sphériques, monopôle). Caractérisation du champ acoustique. Atténuation des ondes.

Étude de la propagation en milieu inhomogène (dioptre plan, guides d’onde).

Introduction au rayonnement du son : équations avec sources, sources impulsionnelles, rayonnement dans un demi-espace avec paroi rigide, rayonnement d’un piston.

Travaux pratiques au sein de la plateforme MAP à Phitem C.

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Acquérir la maitrise des fondements conceptuels et des outils de l’analyse statistique des données  et manipuler les bibliothèques en python .

 Variables aléatoires, lois de distribution, tests statistiques, sciences des données (clustering, regression, PCA)

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Mise en équation dans le cas d'un problème éléments finis.

Application de la méthode des éléments finis au problème 1D : barre en traction-compression et poutre en flexion.

Mise en équation et résolution en statique d’un treillis ou portique,

Définition des matrices raideur, masse et des vecteurs forces généralisées.

Calcul des déformations et des contraintes.

Présentation des éléments finis volumiques en 2 et 3D.

Les TP proposent, à partir d'un problème simple mais réel, le calcul de comportements de structures à partir de logiciels éléments finis (modèles 2D et 3D).

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L’analyse de la réponse dynamique d’un système à 1 degré de liberté sera effectuée dans les régimes de vibrations libres et forcées. Les rôles de l’amortissement, des fréquences excitations seront étudiés.

L’étude dynamique de systèmes mécaniques aborde les notions de raideur, de masse, d’amortissement ainsi que la mise et la résolution des équations de mouvement.

Après une introduction de la vibration des systèmes continus, la méthode des éléments finis en dynamique est présentée pour les éléments finis de type barre et poutre. Les matrices de masses de ces éléments sont déterminées ainsi que le calcul des fréquences et modes de vibration (analyse modale d’un système).

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Etude des aspects expérimentaux et modélisation théorique du comportement élastoplastique des matériaux solides et des milieux granulaires.  Présenter les notions de critère de limite élastique, de règle d'écoulement et d'écrouissage.

• Classification rhéologique des matériaux et études des modèles symboliques de base ;
• Essais mécaniques et caractérisation du comportement des matériaux;
• Comportement élastique et thermo-élastique linéaires ;
• Généralisation de la notion de limite élastique au cas 3D - Critères de plasticité : Critères de Mises et de Tresca, critère de type courbe intrinsèque, critère de Coulomb et critère de Hill pour les matériaux anisotropes. Notion de règle d'écoulement.

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Écoulements à petit nombre de Reynolds / lubrification, Couches limites laminaires, particules et suspensions.

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Comprendre et savoir modéliser les processus physiques non-linéaires mis en jeu dans la description d'un choc droit en écoulement supersonique. Comprendre et savoir modéliser les relations de conservation de la masse et de l'enthalpie totale en régime compressible d'écoulement isentropique.

On s'intéresse aux écoulements compressibles pour lesquels la compressibilité a des effets importants sur les propriétés du fluide (on se focalisera sur le cas de l'air, considéré comme un gaz parfait). Ces régimes d'écoulement sont caractérisés par un nombre de Mach (rapport de la vitesse de l'écoulement à la vitesse du son) nettement supérieur à 0.3, limite d'incompressibilité. L'étude des écoulements compressibles a un intérêt dans beaucoup d'applications de l'ingénierie, en aérodynamique externe (aéronautique) et interne (combustion dans les moteurs). L’étude de ces écoulements nécessite une connaissance à la fois de la thermodynamique du fluide (loi des gaz parfait) et de la dynamique des fluides (équations d'Euler). Aux régimes d'écoulement considérés les effets non-linéaires intrinsèques aux équations de base qui régissent ces fluides sont principaux et nécessaires pour décrire les processus mis en jeu. En particulier, en régime supersonique (Mach>1) des discontinuités spatiales (chocs) apparaissent pour la plupart des variables représentatives du fluide en mouvement (vitesse, température, masse volumique, pression, energie interne, enthalpie, entropie).

On s'attachera à décrire les lois qui régissent le comportement de l'écoulement de fluide compressible. On décrira les différents régimes d'écoulement subsonique (M<1) et supersonique (M>1). On décrira le principe de fonctionnement d'une tuyère. On s’intéressera à la relation de Rankine qui régit l’évolution de la vitesse dans une tuyère en fonction de sa section et du régime d’écoulement. Cela donnera lieu à un TP numérique de codage d’une équation différentielle ordinaire. Dans le second cas,  on  développera et on utilisera les relations de Rankine-Hugoniot pour décrire les discontinuités du fluide à la traversée d'un choc droit. On utilisera un code de calcul de tube à choc pour décrire numériquement l’évolution spatiale et temporelle d’un choc 1D dans une tuyère. Une large partie du module sera dédiée à un projet de dimensionnement d'une tuyère de statoréacteur.

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Cette UE dure 8 semaines au sein d’un laboratoire ou d’une entreprise. Le sujet d’étude de cette mise en situation doit être lié de près ou de loin aux matières étudiées pendant l’année de L3 mécanique. Il doit traiter d’une problématique bien précise. Il peut être à visée scientifique ou pédagogique.

Étant donné les compétences développées au cours de l’année en Python, Elément fini, Théorie des poutres, Vibration, Analyse de données, Communication des systèmes mécaniques, des stages dans des bureaux d’études sont tout à fait envisageables, voir recommandé.

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Description de processus : voix passive, causes, effets, fonctions, objectifs, prépositions (déplacement et statitique).

Formulation de questions.

Compréhension écrite et orale.

Acquisition de vocabulaire spécifique à chaque filière.

2 présentations orales à propos de processus. 

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