Parcours Mathématiques 3e année / Grenoble

L’UE oral consiste en une épreuve orale d’une durée de 30 minutes. Cetteépreuve porte sur le programme des deux matières du semestre S5 (algèbre et topologie) : le candidat peut être interrogé indifféremment sur le programme de l’une ou l’autre de ces matières (à l’exception des candidats ayant déja acquis l’une d’elles ou n’étant inscrits que dans une matière du premier semestre). Une liste de thèmes est proposée au candidat (au minimum 10 dans chaque UE). Le candidat choisit 4 de ces thèmes(2 en Algèbre et 2 en Topologie, ou 4 dans l’unique UE d’inscription) et les propose à l’examinateur, qui en retient un, sur lequel le candidat est interrogé.

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 Ce cours a pour but d'introduire les notions topologiques de base nécessaires au calcul intégral et au calcul différentiel.

Il a aussi pour but de renforcer les bases du raisonnement, de revoir les fondements de l'analyse réelle et des fonctions continues d'une variable réelle et les généraliser aux fonctions de plusieurs variables réelles.

Préliminaires sur R.

(a) Développement décimal d’un réel. Caractérisation des nombres rationnels.
(b) L’ordre sur R. Le théorème de la borne supérieure : construction de la borne supérieure à l’aide des développements décimaux.
(c) Les suites réelles. Convergence, limite. Caractérisation séquentielle de la borne supérieure. Les suites réelles monotones. Le théorème des segments emboités et les suites adjacentes.
(d) Valeurs d’adhérence d’une suite réelle. Théorème de Bolzano-Weierstrass.
(e) Continuité d’une fonction d’une variable réelle. Critère séquentiel. Théorème des valeurs intermédiaires. Toute fonction f continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes,
(f) Convergence simple et uniforme des suites de fonctions. Limite uniforme de fonctions continues.

Espaces vectoriels normés.
(a) Norme sur un espace vectoriel réel, distance associée. Exemples fondamentaux.
(b) Cas particulier : les produits scalaires. Définition, normes et distances associées. Exemples
(c) Boules et parties bornées d’un espace vectoriel normé.
(d) Suites d’un espace vectoriel normé. Suites convergentes. Suite de R n .
(e) Parties fermées, parties ouvertes d’un espace vectoriel normé. Intersection et réunion. Adhérence, intérieur d’une partie d’un EVN.
(f) Les parties connexes par arcs d’un EVN (la connexité est hors-programme). Parties connexes par arcs de R.(g) Suites extraites et valeurs d’adhérence. Le théorème de Bolzano-Weierstrass dans R n .
(h) Parties compactes d’un EVN. Caractérisation en dimension finie.
(i) Parties denses d’un EVN.

3. Fonctions continues entre parties d’un EVN.

(a) Continuité. Critère séquentiel. Exemple : les fonctions lipschitziennes.
(b) Opérations usuelles. Composée, sommes, produits.
(c) Fonctions continues à valeurs dans R n .
(d) Fonctions continues dont la source est R n .
(e) Densité et continuité.
(f) Continuité et connexité par arcs.
(g) Compacité et continuité. Equivalence des normes dans R n .
(h) Homéomorphismes.
(i) Applications linéaires continues, caractérisation, norme.
(j) Fonctions uniformément continues. Définition, exemples, critère séquentiel. Théorème de Heine. Conséquence fondamentale : les fonctions affines par morceaux sur un segment sont denses dans l’espace des fonctions continues muni de la norme infinie.
(k) Théorème de Weierstrass (sans preuve).

4. Complétude.

(a) Suites de Cauchy d’un EVN.
(b) Parties complètes d’un EVN. Exemples : R n , C([0; 1]; R). Espaces de Banach. Dans un Banach, toute série absolument convergente est convergente. Applications : la convergence normale implique la convergence uniforme, la convergence des intégrales absolument convergentes, exponentielle de matrices.
(c) Le théorème du point fixe pour les applications contractantes. Exemples : résolution de f (x) = x pour les fonctions d’une variable réelle et retour sur les suites u n+1 = f (u n ),
méthode de Newton.
(d) Projection orthogonale. Exemple : les séries de Fourier. Les formes linéaires continues dans les Hilbert.
(e) Le théorème de prolongement des applications uniformément continues sur une partie dense. Application : une fonction dérivable sur ]a ; b] dont la dérivée est bornée se prolonge continuement sur [a ; b].

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Théorie des groupes

Théorie élémentaire (sous-groupes, morphismes, sous-groupe engendré par une partie, cas de Z, groupes monogènes, cycliques, ordre
d’un élément, centre, produit direct, groupes d’automorphismes, sous-groupes distingués).

Exemples de groupes provenant de la géométrie (en particulier planaire), groupe des racines n-ième de l’unité. Groupe orthogonal, en particulier O_2 , SO_2 , O_3 , SO_3 . Rappels sur les espaces euclidiens, isométries (directes, indirectes), matrices orthogonales. Classifications en dimension 2, rotations. Sous-groupes finis de O2(R), groupe diédral. Classification en dimension 3. Symétries, caractérisation (u_2 = Id), conjugué d’une symétrie, réflexions. Les réflexions engendrent O_n(R). Le groupe symétrique vu comme sous-groupe de O_n(R).

Quotients : Rappels sur les relations d’équivalence, ensemble quotient, théorème
de factorisation, cas des groupes avec les classes à gauche, Théorème de Lagrange.
Structure de groupe sur le quotient dans le cas abélien, projection canonique et
factorisation.

Les groupes Z/nZ : tout groupe monogène est isomorphe à Z ou Z/nZ , générateurs de Z/nZ, Z/nZ × Z/mZ est cyclique si et seulement  pgcd(n, m) = 1

Action de groupes : orbites, stabilisateurs, action fidèle, action transitive, équation aux classes, formule de Burnside, théorème de Cauchy.

Le groupe symétrique : support, orbites, cycles, décomposition en cycles, générateurs, signature, groupe alterné. Application possible au groupe du tétraèdre (ou du
cube).

Introduction à la théorie des anneaux

Généralités, anneaux, sous-anneaux, morphisme d’anneaux, groupe des inversibles, diviseurs de zero, anneaux intègres, corps.  Anneaux produits A^X , M_n (A). Anneaux de polynômes, morphismes d'évaluation. Anneaux intègres, corps, idéal maximal, existence des
 fonctions polynomiales. 

Idéal dans un anneau commutatif : Somme et intersections d’idéaux, idéaux et morphismes, structure d’anneau quotient et projection canonique, l’anneau Z/nZ,
indicatrice d’Euler, théorème des restes chinois pour les entiers modulaires, idéaux premiers et maximaux.
(on ne traite pas : divisibilité dans un anneau intègre, élément irréductible, an-
neau principal, lien irréductible-idéal premier)

Anneau de polynômes (sur un anneau intègre, puis sur un corps) : division euclidienne, Lien divisibilité-racines. Sur un corps : structure des idéaux de K[X], pgcd,
ppcm. Aritmétique : lemme d’Euclide, lemme de Gauss, etc... Irréductibles de R[X]
et C[X] (admis), décomposition unique en produit d’irréductibles pour K[X] (existence admise). Théorème des restes chinois pour les quotients d’anneaux de
polynômes.

Compléments d'Algèbre linéaire

Reprise du programme de MAT301, avec insistance sur la similitude, ou les classes de
conjugaison dans le groupe GL n (K). La diagonalisation simultanée est nouvelle.

Déterminant : formes multilinéaires, déterminant d’un système de vecteurs, déterminant
d’un endomorphisme, calcul matriciel, polynôme caractéristique. Invariance par
conjugaison.

Valeurs propres-vecteurs propres : racines du polynôme caractéristique, dimension
des sous-espaces stables comme invariant de similitude.

Polynôme d’endomorphismes : Morphisme d’évaluation, polynôme minimal, et théorème
de Cayley-Hamilton

Réduction aux sous-espaces caractéristiques : lemme de décomposition des noyaux,
sous-espaces caractéristiques, diagonalisation, diagonalisation simultanée

Réduction : Trigonalisation, décomposition de Dunford (vue en TD).

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UE encouragée pour les étudiants se destinant au CAPES.

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Ce cours comprend trois grandes parties. La première concerne le calcul différentiel en dimension
finie (avec un accent mis sur les dimensions deux et trois), la seconde les équations différentielles
(essentiellement linéaires), et la troisième les courbes et les surfaces (CAPES).

I. Calcul différentiel dans R n

1. Fonctions différentiables
(a) Fonctions différentiables d’un ouvert de R n à valeurs dans R m . Dérivées partielles, jaco-
bienne. Inégalité des accroissements finis.
(b) Dérivées d’ordre deux. Formule de Taylor à l’ordre deux, théorème de Schwarz. Matrice
hessienne.
(c) Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites. Applications (stabilité d’une racine
simple d’un polynôme, d’un point fixe d’un système dynamique).
2. Extréma
(a) Extréma libres : recherche d’extréma. Points critiques, étude locale, lien avec la hessienne.
(b) Extréma liés dans R 2 et R 3 .
(c) Extréma provenant de la géométrie du triangle.

II. Équations différentielles

1. Le cas linéaire
(a) Théorème de Cauchy-Lipschitz pour y 0 = A(t)y + B(t). Théorème du point fixe pour la
démonstration de C-L. Structure de l’espace des solutions, Wronskien.
10(b) Cas particuliers : n = 1, n > 2 et A constante, exponentielle de matrice, variation de
la constante, systèmes 2 × 2 à coefficients constants, équations scalaires du second ordre
x 00 + a(t)x 0 + b(t)x = c(t).
2. Le cas non linéaire en dimension 1
(a) Le théorème de Cauchy-Lipschitz pour y 0 = f (t; y).
(b) Quelques exemples de problèèmes de la forme a(t)y 0 = f (t; y) avec a(0) = 0 : recollement
de solutions.

III. Courbes et surfaces dans R 3

1. Courbes
(a) Courbes paramétrées de R 2 et R 3 , tangente.
(b) Propriétés métriques : longueur, abscisse curviligne, courbure, torsion, repère de Frenet.
Caractérisation d’une courbe par la courbure et la torsion à isométrie près.
(c) Étude de courbes singulières.
2. Surfaces
(a) Surfaces dans R 3 paramétrées ou définies de façon implicite. Plan tangent. Position de la
surface par rapport au plan tangent.
(b) Propriétés métriques : longueur, aire, formes fondamentales, courbure de Gauss.

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Ce cours comprend trois parties :
— Le calcul intégral en dimension un, on se restreindra à l’intégration des fonctions continues par morceaux ;
— Le calcul intégral en dimension supérieure, avec un accent sur les dimensions deux et trois ;
— Une introduction aux probabilités à densité continue, telles qu’elles sont utilisées en terminale.

I. Calcul intégral en dimension un

I.1. Intégration sur un intervalle compact

Intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment : construction de l’intégrale à l’aide des résultats du cours de topologie sur le prolongement des applications uniformément continues.

Positivité et linéarité de l’intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz. Formule de Chasles. Formule de la moyenne ;

Convergence des sommes de Riemann ;

Intégration par parties. Théorème de changement de variables.

Intégrale dépendant de la borne supérieure ; Intégrale dépendant d’un paramètre, lien avec la convergence uniforme, continuité, dérivabilité ;  

Calcul approché des intégrales (rectangles, trapèzes, Simpson), avec estimation du terme d’erreur ; Applications : intégrale curviligne (le long d’une courbe régulière du plan), longueur d’une courbe paramétrée.

I.2. Intégrales impropres

Intégrales impropres, cas des fonctions positives, comparaison séries/intégrales ; Intégrales impropres dépendant d’un paramètre, convergence uniforme, continuité, dérivabilité.

II. Calcul intégral en dimension supérieure.

Fonctions en escalier en dimension supérieure, sommes de Darboux inférieures et supérieures pour une fonction bornée, définition de l’intégrale, cas des applications continues sur un pavé ;

Intégration des fonctions continues de deux et trois variables sur des domaines simples  (boule notamment) ;

Énoncé des théorèmes de Fubini et de changement de variables (admis).

Coordonnées polaires (éventuellement sphériques).
 
Intégrales impropres dans le cas de fonction à valeurs positives, exemple : intégrale de la gaussienne ;

Produit de convolution. Définition, bilinéarité, commutativité et associativité.

III. Applications aux probabilités

III.1. Probabilités

Notions minimales sur les espaces probabilisés (la théorie de la mesure n’est pas au programme), variable aléatoire à valeur réelle, loi d’une variable aléatoire ;

Variable aléatoire à densité (on se restreindra au cas continu par morceaux) ;

Espérance, moments, variance ;

Exemples de lois continues obtenues comme limites de lois discrètes : loi uniforme sur un intervalle compact, loi exponentielle à partir de lois géométriques, loi normale et loi binomiale (théorème de Moivre).

Lien avec les sommes de Riemann. En cours ou TD :  comment les lois discrètes interviennent  naturellement (modèle d’urne et sondage, pile ou face. . .).  

Vecteur aléatoire à densité en dimension finie, indépendance d’une famille finie de variables aléatoires, loi d’une somme de variables aléatoires indépendantes ;

Inégalité de Tchebychev, loi faible des grands nombres.

III.2. Quelques utilisations en statistiques

Définitions : modèle statistique (famille de lois indexée par un paramètre, échantillon) ;

Intervalle de confiance, niveau non asymptotique ou asymptotique, exemples : paramètre p d’un échantillon de loi de Bernouilli, moyenne pour un échantillon gaussien de variance connue.

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Espaces affines réels de dimension finie

Calcul barycentrique, convexité. Transformations affines.

Espaces affines euclidiens de dimension 2 ou 3

Isométries. Configurations usuelles (triangles, cercles et sphères, coniques).

Utilisation des nombres complexes en géométrie

Similitudes planes. Homographies.

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