UE Algèbre

Théorie des groupes

Théorie élémentaire (sous-groupes, morphismes, sous-groupe engendré par une partie, cas de Z, groupes monogènes, cycliques, ordre
d’un élément, centre, produit direct, groupes d’automorphismes, sous-groupes distingués).

Exemples de groupes provenant de la géométrie (en particulier planaire), groupe des racines n-ième de l’unité. Groupe orthogonal, en particulier O_2 , SO_2 , O_3 , SO_3 . Rappels sur les espaces euclidiens, isométries (directes, indirectes), matrices orthogonales. Classifications en dimension 2, rotations. Sous-groupes finis de O2(R), groupe diédral. Classification en dimension 3. Symétries, caractérisation (u_2 = Id), conjugué d’une symétrie, réflexions. Les réflexions engendrent O_n(R). Le groupe symétrique vu comme sous-groupe de O_n(R).

Quotients : Rappels sur les relations d’équivalence, ensemble quotient, théorème
de factorisation, cas des groupes avec les classes à gauche, Théorème de Lagrange.
Structure de groupe sur le quotient dans le cas abélien, projection canonique et
factorisation.

Les groupes Z/nZ : tout groupe monogène est isomorphe à Z ou Z/nZ , générateurs de Z/nZ, Z/nZ × Z/mZ est cyclique si et seulement  pgcd(n, m) = 1

Action de groupes : orbites, stabilisateurs, action fidèle, action transitive, équation aux classes, formule de Burnside, théorème de Cauchy.

Le groupe symétrique : support, orbites, cycles, décomposition en cycles, générateurs, signature, groupe alterné. Application possible au groupe du tétraèdre (ou du
cube).

Introduction à la théorie des anneaux

Généralités, anneaux, sous-anneaux, morphisme d’anneaux, groupe des inversibles, diviseurs de zero, anneaux intègres, corps.  Anneaux produits A^X , M_n (A). Anneaux de polynômes, morphismes d'évaluation. Anneaux intègres, corps, idéal maximal, existence des
 fonctions polynomiales. 

Idéal dans un anneau commutatif : Somme et intersections d’idéaux, idéaux et morphismes, structure d’anneau quotient et projection canonique, l’anneau Z/nZ,
indicatrice d’Euler, théorème des restes chinois pour les entiers modulaires, idéaux premiers et maximaux.
(on ne traite pas : divisibilité dans un anneau intègre, élément irréductible, an-
neau principal, lien irréductible-idéal premier)

Anneau de polynômes (sur un anneau intègre, puis sur un corps) : division euclidienne, Lien divisibilité-racines. Sur un corps : structure des idéaux de K[X], pgcd,
ppcm. Aritmétique : lemme d’Euclide, lemme de Gauss, etc... Irréductibles de R[X]
et C[X] (admis), décomposition unique en produit d’irréductibles pour K[X] (existence admise). Théorème des restes chinois pour les quotients d’anneaux de
polynômes.

Compléments d'Algèbre linéaire

Reprise du programme de MAT301, avec insistance sur la similitude, ou les classes de
conjugaison dans le groupe GL n (K). La diagonalisation simultanée est nouvelle.

Déterminant : formes multilinéaires, déterminant d’un système de vecteurs, déterminant
d’un endomorphisme, calcul matriciel, polynôme caractéristique. Invariance par
conjugaison.

Valeurs propres-vecteurs propres : racines du polynôme caractéristique, dimension
des sous-espaces stables comme invariant de similitude.

Polynôme d’endomorphismes : Morphisme d’évaluation, polynôme minimal, et théorème
de Cayley-Hamilton

Réduction aux sous-espaces caractéristiques : lemme de décomposition des noyaux,
sous-espaces caractéristiques, diagonalisation, diagonalisation simultanée

Réduction : Trigonalisation, décomposition de Dunford (vue en TD).