Parcours Mathématiques 2e année / Grenoble

Programme résumé :

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* Raisonnement algorithmique: structuration d'un algorithme, différenciation
  intention vs. réalisation.
* Structures de données: abstraction algorithmique haut-niveau des ensembles,
  séquences, dictionnaires.
* Structures bas-niveau pour représenter les structures haut-niveau (schémas
  classiques d'accès, parcours, opérations de base):
  - séquentielles: représentation à base de tableaux;
  - chaînées: représentation à base de listes chaînées;
  - récursives: représentation à base d'arbres binaires.
* Structures algorithmiques itératives et récursives.
* Construction d'algorithmes complexes: utilisation d'invariants de boucles.
* Analyse d'algorithmes: complexité algorithmique.

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• Séries numériques : séries convergentes et séries absolument convergentes. Exemple des séries géométriques et des séries de Riemann. Séries à termes positifs, théorème de comparaison, règles de d'Alembert et de Cauchy. Séries alternées et séries de termes de signe quelconque (théorème d’Abel, sommation par paquets...).

• Intégrale de Riemann d'une fonction continue sur un intervalle fermé borné et lien avec la notion de primitive.

• Quelques techniques d’intégration : intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, linéarisation des polynômes trigonométriques...

• Intégration sur des intervalles non compacts : notion d’intégrale impropre. Intégrales absolument convergentes, théorèmes de comparaison et leur utilisation. Etude de quelques cas d’intégrales convergentes mais non absolument convergentes.

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Cette UE présente et développe les outils pour la réduction des endomorphismes en algèbre linéaire, comme les groupes de permutations, le déterminant, les sous-espaces propres d’un endomorphisme, les polynômes d’endomorphismes, les sous-espaces caractéristiques, la diagonalisation et la trigonalisation. Pour cela, nous aurons besoin d’arithmétique.

-- Rudiments d'algèbre linéaire.

Rappels de MAT201 (introduction à l’algèbre linéaire), avec prise en compte des scalaires complexes (e.v, s-e.v, bases, dimension, sommes
directes, applications linéaires, reresentations matricielles, changements de base, sous-espaces stables, blocs).
Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme, les espaces propres sont en somme directe.

-- Groupes de permutations et déterminants.

Permutations, cycles, transpositions, décomposition en cycles disjoints, signature, déterminant d'une matrice carrée, méthodes de
calcul, critère d'inversibilité, calcul d'inverse, rang.

-- Arithmétique des entiers et des polynômes.

Sur Z : division euclidienne, résidus modulo n (on évoquera Z/nZ), pgcd, primalité relative, théorème de Bachet-Bezout et algorithme d'Euclide étendu, Lemme de Gauss, primalité, factorisation, infinitude des nombres premiers, théorèmes de Fermat, et des restes Chinois.
Sur K[X] : définitions, division euclidienne des polynômes, et conséquences (pgcd, Bezout, algorithme d'Euclide étendu, primalité relative, polynômes irréductibles et factorisation), racines, multiplicité et divisibilité, polynômes scindés, énoncé du théorème de d'Alembert-Gauss.

-- Réduction d'endomorphismes

Polynôme caractéristique, diagonalisabilité, critère du polynôme caractéristique scindé à racine simples, multiplicité géométrique et algébriques des racines du polynôme caractéristique, polynômes d’endomorphismes, polynôme minimal, Lemme de décomposition des noyaux, Théorème de Cayley-Hamilton, critère de diagonalisabilité du polynôme minimal scindé à racine simples.
Trigonalisabilité, critère du polynôme caractéristique scindé, sous-espaces caractéristiques, cas des matrices qui sont en forme de Jordan.

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Cette UE aborde  la topologie d’espaces vectoriels réels, et l’etude des fonctions de plusieurs variables, jusqu’à quelques aspects de calcul différentiel, que l’on appliquera à la paramétrisation de surfaces dans R^3.  Cette UE  aborde également l’étude des courbes paramétrées, fonctions d’une variable réelle mais à valeur dans un espace vectoriel de dimension 2 ou 3.  

1: Topologie et continuité (6 séances)

Topologie élémentaire de l'espace vectoriel de dimension finie (pour la norme euclidienne).  
Suites de Cauchy et suites convergentes. Ensembles ouverts et fermés. Description d'ensembles fermés en termes de suites.
Compacité séquentielle (i.e.  la propriété de Bolzano-Weierstrass).
Continuité des fonctions sur ces espaces. Définition de Cauchy de limites de fonctions entre espaces vectoriels de dimension finie (munis des normes euclidiennes). Limites en termes de suites.
Continuité et continuité uniforme. Propriétés topologiques de la continuité : l'image réciproque d'un ouvert (resp., fermé) est ouverte (resp., fermée) ; l'image directe d'un compact est compacte. Toute fonction scalaire continue sur une partie compacte admet un maximum et un minimum. Toute fonction continue sur une partie compacte est uniformément continue (thm de Heine).

2: Calcul différentiel (4-5 séances)

Dérivées directionnelles et dérivées partielles des fonctions à valeurs vectorielles.  Différentielle au sens de Fréchet. Lien entre les trois notions.
Fonction de classe  C^p, pour p naturel. Toute fonction de classe C^1 est différentiable. Cas particulier du gradient.
Plan tangent à surface paramétrée différentiable. Symétrie de la différentiabilité d'ordre 2 (thm. attribué à K. Schwarz et/ou à A.-C. Clairaut). Développement de Taylor d'ordre 2. Extrema libres pour des fonctions de deux variables.

3: Courbes paramétrées  (3-4 séances) 

Courbes dans le plan et dans l'espace.
Régularité et orientation de courbes.
Vecteur tangent.
Longueur et abscisse curviligne d'une courbe.
Exemples basiques (e.g. spirales).
Courbure (principale) et torsion. Eventuellement : formules de Serret-Frenet.

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Programme résumé :

• Thème 0 : Définition inductive et preuve par induction
  • Théorème de Kleene et points fixes
  • Schéma de preuve par induction

• Thème 1 : Automates
  • Expression d'algorithmes par des automates : actions, contrôle ; configurations, traces d'exécution
  • Correction partielle d'un automate : invariants, schéma de preuve
  • Correction totale, schéma de preuve

• Thème 2 : Langages réguliers et automates d'états finis
  • Reconnaissance d'un langage régulier par un automate d'états fini
  • Propriétés algébriques des langages réguliers
  • Notion de non déterminisme, déterminisation d'un automate
  • Problèmes de décision : langage vide, langage infini

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Electrostatique et Magnétostatique avec une ouverture sur l'électromagnétisme dans le vide.

Electrostatique : loi de Coulomb, théorème de Gauss, potentiel scalaire, dipôle électrique, théorème de Coulomb, notion de capacité, énergie potentielle électrostatique.

Electrocinétique : densité de courant, loi d'Ohm. Magnétostatique : force de Lorentz, relations de Biot-Savart, conservation du flux, théorème d'Ampère, force de Laplace. Induction magnétique : loi de Faraday, loi de Lenz, auto-induction, induction mutuelle.

Electromagnétisme : équations de Maxwell et prédiction de l'existence des ondes électromagnétiques dans le vide.

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Cette UE munit les espaces vectoriels d’une structure supplémentaire, ajoutant une géométrie à algèbre linéaire pure, et permettant d’étudier des notions d’orthogonalité, des espaces Euclidiens ou de signature variées, et certains endomorphismes remarquables. 

I. Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques
     Formes bilinéaires, représentation matricielle,  formes quadratiques

II. Orthogonalité
     Définitions (orthogonalité et isotropie),  bases orthogonales, Théorème de Gram-Schmidt pour les formes bilinéaires anisotrope, réduction de Gauss des formes quadratiques.

III. Formes bilinéaires et quadratiques réelles, produit scalaires
    Formes positives, négatives, produits scalaires. Propriétés algébriques et métriques des produits scalaires. Formes quadratiques réelles (signature, diagonalisation des matrices symétriques)

IV. Géométrie euclidienne
   Adjoint d'un endomorphisme. Endomorphismes symétriques et projections orthogonales d'un espace euclidien. Isométries d'un espace Euclidien (en particulier en dimension 2 et 3). Réduction des coniques et des quadriques.

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Cette UE aborde les convergences de suites de fonctions, et de séries de fonctions, ainsi que les décompositions de certaines fonctions en séries : les fonctions développables en séries entières, et les décompositions en série de Fourier, un outil d’analyse des fonctions périodiques, essentiel dans le traitement du signal et l’étude de certaines équations différentielles.

1. Suites de fonctions
        Convergence simple, convergence uniforme, propriétés de la limité

2. Séries de fonctions
       Convergences simple, uniforme et normale, et propriétés

3. Séries entières
       Rayon de convergence, fonctions développables en série entière et propriétés

4. Séries de Fourier
       Séries trigonométriques et coefficients de Fourier, convergence des séries de Fourier. Exemples remarquables et compléments.

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La théorie des probabilités, c'est à dire l'étude mathématique des phénomènes aléatoires, occupe aujourd’hui une place centrale dans la plupart des sciences, tout d’abord, de par ses applications pratiques. En plus d'être la base des statistiques, elle permet la modélisation de nombreux phénomènes, aussi bien en sciences naturelles (physique, chimie, biologie, climatologie, etc.) qu’en sciences humaines (économie, sociologie, par exemple).

Chapitre 1 : Un peu d'analyse combinatoire

 Modélisation des phénomènes aléatoires. Cardinal d'un ensemble.  Analyse combinatoire : dénombrement de fonctions entre ensembles, dénombrement des parties d’un ensemble, partitionnement.

Chapitre 2 : Espace probabilisé

Tribus et probabilités. Indépendance. Probabilités conditionnelles

Chapitre 3 : Variables aléatoires

 Variables aléatoires discrètes : exemples importants, vecteurs aléatoires discrets, espérance, variance, fonctions génératrices. Variables aléatoires à densité. Convergences de suite de variables aléatoires

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Programme résumé :

• Logique propositionnelle :
  • Syntaxe et sémantique
  • Algèbre de Boole : structure mathématique sous-jacente
  • Transformations de formules
  • Étude de la validité d'une proposition par une méthode algorithmique
• Vers la logique du premier ordre (LPO)
  • Étude de la validité d'un énoncé par une méthode déductive
• Sémantique de la logique du premier ordre (LPO)
  • Domaine, interprétation
  • Construction de modèle
  • Lois de manipulation des quantificateurs
  • Résolution au premier ordre

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Représentation des nombres dans un ordinateur, problèmes de précision et
sensibilisation à la gestion des erreurs.
• Résolution d’équations non linéaires : principe de dichotomie, méthode de Newton,
équations polynomiales.
• Approximation polynomiale : polynômes de Lagrange, polynômes orthogonaux.
• Intégration numérique : méthodes des rectangles, des trapèzes, de Newton-Cotes et
de Gauss-Legendre
• Autres thématiques : algèbre linéaire, équation différentielle...

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Programme résumé :

• Probabilités :
  • Evénements, probabilités conditionnelles, indépendance, formule de Bayes, formule des probabilités totales. Lois discrètes et continues usuelles.
  • Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
  • Théorème de Moivre-Laplace, Théorème central limite et ses applications.
• Statistique :
  • Statistique descriptive,
  • Terminologie,
  • Variables statistiques discrètes et continues
• Statistique décisionnelle :
  • Estimation, maximum de vraisemblance, intervalles de confiance, droite de Henry.
  • Tests statistiques usuels paramétriques, risques, p-valeur.
  • Tests de comparaison d'échantillons.
  • Tests d'adéquation et d'indépendance du Khi-deux.

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