UE Analyse approfondie et algèbre linéaire

Espaces métriques et espaces vectoriels normés

1. Distances et normes : définitions, exemples (en particulier : espaces de fonctions bornées, de fonctions continues, de fonctions lisses, espaces de suites); langage géometrique associé (boules, sphères, distance d'un point à un ensemble, parties bornées).

2. Sous-espace d'un espace métrique - Produits d'espaces métriques.

3. Normes équivalentes. Equivalence des normes en dimension finie.

Les espaces métriques et leur topologie

1. Vocabulaire topologique : convergence, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, frontière, voisinage d'un point. Notion d'espace topologique. Distances topologiquement équivalentes.

2. Continuité : définition, caractérisation en termes d'images réciproques. Continuité uniforme. Fonctions lipschitziennes. Homéomorphismes.

3. Applications linéaires continues : caractérisation de la continuité ; cas de la dimension finie. Norme d'une application linéaire continue ; Exemples
d'applications linéaires continues et de calculs de normes.

4. Parties denses d'un espace métrique : exemples et applications. Séparabilité.

Espaces métriques complets et espaces de Banach

1. Définitions, exemples.

2. Résultats « élémentaires » : parties d'un espace métrique complètes pour la distance induite; prolongement des applications uniformément continues; produits d'espaces complets.

3. Théorème du point fixe. Applications (suites de réels définies par récurrence, équations intégrales...).

4. Complété d'un espace métrique, complété d'un espace vectoriel normé.

Compacité

1. Espaces métriques compacts : définition, exemples; caractérisation en termes de recouvrements ouverts.

2. Propriétés fondamentales : compacts et fermés; compacts en dimension finie; image continue d'un compact; continuité et continuité uniforme; homéomorphismes; produits de compacts. Applications.

Espaces pré-hilbertiens et Hilbertiens

1. produit scalaire et norme associée, Cauchy Schwatrz
2. orthogonalité, pythagore, orthonormalisation de Schmidt, sous-espaces orthogonaux

Espaces Euclidiens en dim finie

1. bases orthonormées
2. dualité
3. supplémentaire orthogonal, distance à un sous espace, inégalité de Bessel, égalité de Parseval

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Algèbre linéaire et fonctions : un bref résumé

Introduction à Python

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Interpolation d’Hermite

Quelques splines d’interpolation

Approximation au sens des moindres carrés

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