Analyse approfondie

1. Espaces vectoriels normés (evn), espaces métriques (em)
• Norme, evn (espace vectoriel normé), distance (espace métrique), en dimension quelconque
• Parties et fonctions bornées
• Applications Lipschitziennes, cas particulier des applications linéaires con-nues, normes associées,
normes de matrices en dimension finie.2. Suites d'un espace métrique et séries d'un espace vectoriel normé (convergence, valeur d'adhérence)
3. Topologie élémentaire (voisinage, ouvert, fermé, intérieur, adhérence, frontière...)
4. Limite et continuité d'une fonction d'un espace métrique à valeur dans un espace métrique (rappels
rapides)

5. Espaces métriques et Espaces vectoriels normés complets (espace de Banach)
Suite de Cauchy, Théorème du point fixe, exemple d'espaces de fonctions complets, série d'un espace
de Banach, extra : prolongement des applications uniformément continues
6. Compacité : définitions, propriétés élémentaires des compacts, application continue sur un compact
(l'image d'un compact est compact) et conséquence en optimisation

7. Espaces préhilbertiens, Hilbert
• Produit scalaire, CS, orthogonalité, familles et espaces orthogonaux, projecteur orthogonal
• Espaces Euclidiens (BON, dual,...)
• Supplémentaire orthogonal, distance à un sous-espace, inégalité de Bessel, égalité de Parceval,
famille orthonormée totale

Algèbre élémentaire (espace vectoriel, application linéaire, matrice), analyse élémentaire (suites
numériques, convergence ; fonctions numériques, limite, convergence, continuité, ...)