UE Calcul différentiel

I. Calcul différentiel dans les espaces de Banach.

1. Différentielle, dérivées directionnelles, dérivées partielles dans R^n . Théorème des
accroissements finis.
2. Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites.
3. Différentielles d’ordre supérieur. Lemme de Schwarz.
4. Formules de Taylor.
5. Fonctions convexes.
6. Forme normale des immersions et des submersions. Sous-variétés de R n, espaces
tangents (équivalence entre définitions).
7. Extrema et extrema liés.

II. Équations différentielles.

1. Équation différentielle, champ de vecteurs.
2. Théorie de Cauchy-Lipschitz locale et globale. Lemme de Gronwall. Bouts d’une
solution. Dépendance continue par rapport aux données.
3. Flot d’une équation différentielle, d’un champ de vecteurs.
4. Équations différentielles linéaires. Exponentielle dans le cas constant, stabilité dans
le cas constant, variation de la constante en général.
5. Équations différentielles autonomes : équilibres, stabilité.