Parcours Mathématiques avec approfondissements 3e année / Grenoble

L’UE oral consiste en une épreuve orale d’une durée de 30 minutes. Cetteépreuve porte sur le programme des deux matières du semestre S5 (algèbre et topologie) : le candidat peut être interrogé indifféremment sur le programme de l’une ou l’autre de ces matières (à l’exception des candidats ayant déja acquis l’une d’elles ou n’étant inscrits que dans une matière du premier semestre). Une liste de thèmes est proposée au candidat (au minimum 10 dans chaque UE). Le candidat choisit 4 de ces thèmes(2 en Algèbre et 2 en Topologie, ou 4 dans l’unique UE d’inscription) et les propose à l’examinateur, qui en retient un, sur lequel le candidat est interrogé.

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Chapitre 1 : Le corps des réels

1. Définition de R et premières propriétés
Ensembles ordonnés, bornes supérieure et inférieure, corps ordonnés. Définition de R comme unique corps ordonné possédant la propriété de la borne supérieure. Propriété d’Archimède, densité de Q dans R.
2. Suites réelles
Notion de convergence, suites croissantes majorées, caractérisation séquentielle de la borne supérieure. Valeurs d’adhérence, limites supérieure et inférieure d’une suite bornée, théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites de Cauchy, complétude. Construction de R.
3. Développement décimal
Définition, existence et unicité du développement décimal propre. Caractérisation décimale de Q.
4. Dénombrabilité
Définitions, dénombrabilité d’un produit fini et d’une union dénombrable d’ensembles dénombrables. Non-dénombrabilité de {0, 1} N et de R.
5. Fonctions réelles
Continuité en un point et sur un sous-ensemble de R, caractérisation séquentielle de la continuité. Théorème des valeurs intermédiaires, image d’un segment par une application continue.
Continuité uniforme, théorème de Heine sur un segment. Convergences simple et uniforme d’une suite de fonctions, continuité d’une limite uniforme de fonctions continues. Théorèmes de Dini.

Chapitre 2 : Espaces métriques, espaces vectoriels normés, espaces préhilbertiens

1. Espaces métriques
Distance sur un ensemble, exemples d’espaces métriques, diamètre d’une partie, distance d’un point à une partie, inégalité triangulaire inverse.
2. Espaces vectoriels normés
Norme sur un espace vectoriel, exemples d’espaces vectoriels normés, caractérisation des distances associées à une norme. Normes usuelles sur K n , où K = R ou C, inégalités de Young,
de Hölder, et de Minkowski. Equivalence des normes k · k p sur K n pour p ∈ [1, ∞]. Normes correspondantes sur C([a, b], K), et non-équivalence de celles-ci. Espaces l p .
3. Espaces préhilbertiens
Produit scalaire sur un espace vectoriel, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz, identité du parallélogramme, identité de polarisation. Caractérisation des normes associées à un produit scalaire.
4. Topologie des espaces métriques
Boules ouvertes, boules fermées, ensembles ouverts, ensembles fermés, voisinages. Une union quelconque ou une intersection finie d’ouverts est un ouvert. Cas des espaces vectoriels normés, invariance de la topologie par translation et dilatation, convexité des boules.
5. Convergence des suites
Définition, unicité de la limite, exemples. Ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite, cas des suites de Cauchy, exemples d’espaces complets ou non. Caractérisation séquentielle des ensembles fermés.
6. Fonction continues
Définition d’une application continue entre deux espaces métriques, critère séquentiel, caractérisation topologique de la continuité (l’image inverse d’un ouvert est ouvert). Compositions, sommes, ou produits d’applications continues. Applications uniformément continues, lipschitziennes. Densité d’une partie, exemples. Image d’une partie dense par une application continue et sujective. Une application continue est univoquement déterminée par sa donnée sur une partie dense.
7. Parties compactes 
Définition (par la propriété de Bolzano-Weierstrass), compacité implique complétude, parties compactes de K n . Image d’une partie compacte par une application continue. Equivalence de normes, toutes les normes sur K n sont équivalentes. Exemple de normes non équivalentes en dimension infinie. Une suite dans un compact converge vers l’ensemble de ses valeurs d’adhérence. Equivalence des propriétés de Borel-Lebesgue et de Bolzano-Weierstrass dans le cas métrique.
8. Homéomorphismes
Définition, ensembles homéomorphes, exemples (classes d’équivalence des intervalles de R).
Propriétés préservées ou non par homéomorphisme. Distances topologiquement équivalentes, distances équivalentes.
9. Aplications linéaires continues
Borne d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés, propriétés. Applications continues, lipschitziennes, espace vectoriel normé des applications linéaires continues. Cas de la dimension finie, exemple d’application linéaire non bornée en dimension infinie. Normes usuelles sur les matrices. Formes linéaires continues, dual topologique d’un espace vectoriel normé. Une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé. Prolongement d’une application linéaire sur une partie dense.

Chapitre 3 Topologie générale

1. Définitions générales
Topologie sur un ensemble, exemples d’espaces topologiques. Métrisabilité, espace séparable au sens de Hausdorff, voisinages et bases de voisinages. Topologie engendrée par une famille de parties. Topologie induite sur un sous-ensemble, cas des espaces métriques.
2. Limites et continuité
Convergence d’une suite, unicité de la limite dans le cas séparé. Continuité d’une fonction, propriétés. Caractérisation séquentielles (partielles) des ensembles fermés et des applications continues. Transport de topologie par une application, topologie induite (ou initiale) et topologie image (ou finale).
3. Intérieur, adhérence, frontière
Définitions, caractérisations, propriétés élémentaires. Comportement sous les opérations ensemblistes, image ou image inverse par une application continue. Valeurs d’adhérence d’une suite, lien avec l’adhérence de l’ensemble des valeurs de la suite. Parties denses.
4. Produits et quotients
Définition et propriétés de la topologie produit dans le cas d’un nombre fini de facteurs. Les projections canoniques sont continues et ouvertes. Cas des espaces métriques. Produit infini d’espaces topologiques, produit dénombrable d’espaces métriques. Topologie quotient, exemple.
5. Compacité
Parties compactes d’un espace topologique séparé (définies par la propriété de Borel-Lebesgue), propriétés élémentaires, séparation des ensembles compacts disjoints. Théorème de Tykhonov (admis dans le cas général). Un produit dénombrable d’espaces métriques compacts est un espace métrique compact. Séparation des fermés disjoints dans les espaces métriques.
6. Connexité
Définition et caractérisations d’un espace ou d’une partie connexe. Sous-ensembles connexes de R. Conditions suffisantes pour qu’une union de connexes soit connexe. Adhérence et image continue d’une partie connexe. Composantes connexes. Connexité par arcs, ouverts connexes d’un espace vectoriel normé. Connexité simple (facultatif). Exemple de l’ensemble de Cantor.

Chapitre 4 : Compléments et applications.

1. Espaces métriques complets
Théorème de Baire, conséquences (un espace de Banach de dimension infinie n’admet pas de base algébrique dénombrable). Suites récurrentes, théorème du point fixe de Banach.
2. Espaces de Banach
Définition, exemples (espaces de suites, espaces de fonctions), démonstration de la complétude.
3. Séries dans les espaces de Banach
Convergence et convergence absolue d’une série dans un espace de Banach. Applications : perturbations d’un endomorphisme inversible, exponentielle d’un endomorphisme, cas particulier
des matrices.
4. Espaces de Hilbert
Projection sur un convexe fermé non vide, projection orthogonale sur un sous-espace fermé, théorème de représentation de Riesz. Familles orthonormées, inégalité de Bessel, bases hilbertiennes dans le cas séparable.
5. Théorème d’Ascoli
Ensembles relativement compacts, familles uniformément équicontinues, théorème d’Ascoli.
6. Théorème de Stone-Weierstrass
Théorème d’approximation de Weierstrass, preuve de Bernstein. Algèbres de fonctions, théorème de Stone-Weierstrass.

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Théorie des groupes

Théorie élémentaire (sous-groupes, morphismes, sous-groupe engendré par une partie, cas de Z, groupes monogènes, cycliques, ordre
d’un élément, centre, produit direct, groupes d’automorphismes, sous-groupes distingués).

Groupes orthogonaux  O(E), SO(E), pour E un espace euclidien, familles génératrices
des reflexions et des renversements. Groupes GL_n(K), SL_n(K), famille des transvections, dilatations. Lien avec les opérations élémentaires sur les lignes et colonnes.

Classes latérales,   groupes quotients. Exemple : Z/nZ. Théorème de
Lagrange, factorisation des morphismes. Théorèmes d’isomorphismes.

Actions de groupes,   exemple de l’action d’un sous-groupe par multiplication à
gauche, par conjugaison. Vocabulaire : orbite, stabilisateur, noyau, action fidèle,
transitive, équation aux classes, théorème orbite/stabilisateur.

Groupes symétriques,   décomposition en cycles, classes de conjugaison (éventuelle-
ment, lien avec les partitions d’entiers), signature, groupe alterné, pour n plus grand que 5 : simplicité de A_n , sous groupes distingués de S_n.

Produits directs et semi-directs, éléments de structure des groupes finis  Cauchy, Fermat, Frobenius, nombre de points fixes lorsque G est un p-groupe, le centre dun
p-groupe est non trivial. Théorèmes de Sylow.

Introduction à la théorie des anneaux

Généralités, anneaux, sous-anneaux, morphisme d’anneaux, idéaux, idéal engendré,
exemples de Z et ses idéaux. Anneaux produits A^X , M_n (A). Anneaux de polynômes,
A[X], propriété universelle. Anneaux intègres, corps, idéal maximal, existence des
idéaux maximaux contenant un idéal strict donné (possiblement admis)

Anneaux principaux, euclidiens et leur arithmétique, pgcd, ppcm, interprétés en termes de somme et d’intersection.
Anneaux euclidiens, exemples, principalité, algorithme d’Euclide étendu.

Anneaux quotients, théorème de factorisation, théorèmes d’isomorphismes. Caractérisation des idéaux premiers et maximaux en termes d’anneau quotient, théorème
des restes Chinois. On insistera sur Z et K[X]. Caractérisation des anneaux quotients de Z et K[X] qui sont des corps en termes de primalité et d’irréductibilité
des générateurs d’idéaux.

Compléments d'Algèbre linéaire

Dualité, en dimension finie, base duale, orthogonalité, hyperplans, base anteduale,
endomorphisme adjoint et transposition.

Réduction des endomorphismes normaux d’un espace euclidien, application aux en-
domorphismes symétriques, antisymétriques, et aux isométries. On pourra évoquer
le cas hermitien.

Décomposition de Dunford (vue en TD),

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UE encouragée pour les étudiants se destinant au CAPES.

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I. Calcul différentiel dans les espaces de Banach.

1. Différentielle, dérivées directionnelles, dérivées partielles dans R^n . Théorème des
accroissements finis.
2. Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites.
3. Différentielles d’ordre supérieur. Lemme de Schwarz.
4. Formules de Taylor.
5. Fonctions convexes.
6. Forme normale des immersions et des submersions. Sous-variétés de R n, espaces
tangents (équivalence entre définitions).
7. Extrema et extrema liés.

II. Équations différentielles.

1. Équation différentielle, champ de vecteurs.
2. Théorie de Cauchy-Lipschitz locale et globale. Lemme de Gronwall. Bouts d’une
solution. Dépendance continue par rapport aux données.
3. Flot d’une équation différentielle, d’un champ de vecteurs.
4. Équations différentielles linéaires. Exponentielle dans le cas constant, stabilité dans
le cas constant, variation de la constante en général.
5. Équations différentielles autonomes : équilibres, stabilité.

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I. Espaces mesurés, espaces probabilisés

Algèbre de parties d’un ensemble E.
Exemple : les unions finis d’intervalles de R. Toute union finie d’intervalles de R peut s’écrire comme union finie d’intervalles disjoints.
Tribus sur un ensemble E. Espace mesurables. Tribu engendrée par une partie de P(E).
Tribu borélienne sur un espace topologique. Classes monotones. Théorème des classes monotones.

II. Mesures positives, probabilités

Définitions et premières propriétés.
Ensembles de mesure nulle. Propriétés vraies presque partout.8
Mesure de Stieltjes associée à une fonction croissante et continue à droite F de R dans R.
On admettra l’existence et on ne montrera que l’unicité à l’aide du théorème des classes monotones.
Mesure des intervalles ]a, b], [a, b], [a, b[, ]a, b[.
Les mesures boréliennes positives sur R sont exactement les mesures de Stieltjes. Exemples
de mesures discrètes, singulières continues, absolument continues (même si l’on ne peut
pas encore le montrer). La mesure de Stieltjes associée à F s’obtient comme mesure image
de la mesure de Lebesgue sur l’intervalle ]F (−∞); F (+∞)[ par la fonction pseudo-inverse
de F .
Mesure de Lebesgue sur R. Invariance par symétrie et translation.
Exemples de parties de R de mesure de Lebesgue nulle.
Applications mesurables entre deux espaces mesurables. Tribu initiale associée. Mesure
image. Exemples.

III. Intégration par rapport à une mesure positive

Intégration des fonctions étagées (à valeurs dans R).
Intégration de fonctions mesurables à valeurs dans [0; +∞]. Si l’intégrale est finie, la fonction est finie presque partout. Si l’intégrale est nulle, la fonction est nulle presque partout.
Intégration des fonctions intégrables à valeurs dans R et C.
Le module de l’intégrale est plus petit que l’intégrale du module. Cas d’égalité.
Liens entre l’intégrale de Riemann et l’intégrale de Lebesgue sur R.
Intégration par rapport à une mesure discrète. Intégration par rapport à une mesure à densité (ce point utilise le théorème de Beppo-Lévi).
Théorèmes de Beppo-Lévi, Fatou, convergence dominée. Continuité, dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre.
Intégrale indéfinie.

IV. Espaces L^p

(Dans la perspective de l'utilité pour les probabilités) 

Définition, inégalités de Holder et de Minkovski.
Toute série de fonctions normalement convergente dans L^p (E, A, μ) converge presque partout et dans L^p (E, A, μ). L’espace de Banach L^p (E, A, μ) est complet.
Densité des fonctions continues à support compact et des fonctions en escalier dans L^p (R^d ).
Continuité des translations dans L^p (R^d ).

V. Produit de deux espaces mesurés (ou d’un nombre fini)

Espaces, tribus et mesures produits.
Théorème de Fubini.
Mesure de Lebesgue sur R^d . Invariance par isométrie. Effet d’une application linéaire.
Formule de changement de variables (énoncée mais admise). Application à la détermination
de mesures images.

VI. Convolution et transformation de Fourier dans R^d

(Dans la perspective de l'utilité pour les probabilités, exemples
d’utilisation des théorèmes d’intégration.)

Convolution de deux fonctions dans L^1 (R d ).
Densité de C_c^∞ (R^d ) dans L^1 (R^d ).
Transformation de Fourier sur L^1 (R^d ) (convention \int f(x)e^{ −ix·\xi}  dx).
Transformée de Fourier d’un produit de convolution.
Transformée de Fourier de la densité d’une gaussienne centrée.
Formule d’inversion pour f \in L^1 (R^d ) telle que Ff soit dans L^1 (R^d).
Formule de Plancherel.
Convolution de deux mesures positives finies. Cas où l’une des deux possède une densité.

VII. Probabilités

1. Vocabulaire probabiliste
– Variable aléatoire, loi, tribu associée.
– Couples de variables aléatoires. Loi jointe et lois marginales.
– Variables aléatoires réelles : fonction de répartition, conditions d’existence d’une densité,
espérance.
– Théorème de transfert. Cas de variables aléatoires discrètes Cas de variables aléatoires
à valeurs dans R^d et à densité.
– Variance, écart-type, covariance, coefficient de corrélation.
– Probabilité et espérance sachant un événement.
2. Indépendance
– Indépendance de tribus, de variables aléatoires, de n événements, de deux événements.
– Critères pour savoir que des variables aléatoires discrètes sont indépendantes.
– Critères pour savoir que des variables aléatoires réelles sont indépendantes.
– Indépendance et espérance.
– Somme de variables aléatoires indépendantes : loi, variance.
– Loi du zéro-un de Kolmogorov.
3. Variables aléatoires à valeurs dans R^d
– Fonction de répartition.
– Espérance, matrice de covariances.
– Fonction caractéristique.
– La fonction caractéristique détermine la loi. Corollaire : critère d’indépendance des composantes.
– Fonction caractéristique d’une somme de variables aléatoires indépendantes.
– Variables aléatoires gaussiennes.
4. Théorèmes limites
– Théorèmes de Borel-Cantelli
– Convergence presque sûre, en probabilité dans L^p .
– Loi faible et loi forte des grands nombres. Loi forte prouvée seulement pour des variables
dans L^4 .
– Convergence en loi. Définitions équivalentes.
– Théorème de Lévy.
– Théorème limite central, théorème de Poisson.

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