Magistère de Physique

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Ce cours est une introduction simple à la philosophie des sciences, destinée aux étudiants en physique fondamentale. Il ne s’agit pas de dresser un panorama exhaustif des différents courants épistémologiques. Tout au contraire, l’approche se revendique résolument interactive et tournée vers la pensée contemporaine. À la manière d’une enquête, la question posée est celle de l’articulation de la science et de la vérité. Les exemples sont puisés dans la physique d’aujourd’hui - théorie des cordes, physique des particules et relativité générale - tandis que la réflexion philosophique convoque des penseurs du vingtième siècle : Bachelard, Popper, Kuhn , Feyerabend, Latour, etc. Au détour de l’investigation, un bref panorama des différents courants philosophiques est esquissé dans son rapport à l’élaboration scientifique. La sens profond de la physique est interrogé suivant différentes perspectives.

Moins qu’une acquisition académique de connaissances, ce cours est l’occasion d’une déconstruction des certitudes et d’une remise en question des évidences trompeuses.

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La structure mathématique de groupe est associé en physique au concept de symétrie et d'invariant 
et intervient dans de nombreux domaines : cristallographie, relativité restreinte, mécanique quantique, mécanique analytique, physique des particules,...
Ce cours vise a décrire certains aspects de la théorie mathématiques décrivant cette structure, en particulier le concept de représentation.
La première partie de cours décrit les propriétés générales des groupes et de leurs représentations, en se limitant aux groupes discrets pour certaines démonstrations, l'extension aux groupes compacts étant admise.
Le seconde partie du cours discute des groupes de Lie et en particulier le groupe SU(2) et le spin en mécanique quantique.

Plan

Chapitre 1 - Les groupes : Rappels sur les structures algébriques, groupes finis et groupes continus, morphismes.
Chapitre 2 - Représentations, produit tensoriel, décomposition en représentations irréductibles, représentations unitaires
Chapitre 3 - Introduction aux groupes de Lie : Définition d'un groupe de Lie, générateurs, algèbre de Lie
Chapitre 4 - Le groupe SU(2) et le spin : Générateurs, constructions des représentation irréductibles par la méthode du poids maximal, décomposition en représentations irréductibles d'un produit tensoriel (combinaison de 2 spins), théorème de Wigner-Eckart.

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Ce cours a pour but d’introduire les concepts de champs classique, quand le besoin d’une description continue de la matière se fait par rapport à la discrète. En revenant sur la mécanique lagrangienne et hamiltonienne, nous introduisons la notion de champs et montrons, par l’exemple, quelques résultats spectaculaires que cela entraîne. Au carrefour de multiples disciplines, nous abordons entre autres les pendules de torsions couplées, les jonctions métal-supraconducteur, ou encore les vagues scélérates et tsunami. En effet, le formalisme permettant d’appréhender des propriétés non-linéaires, nous étudions certaines solutions remarquables que nous avons déjà tous observé dans notre existence, mais dont l’origine physique nous restait inconnue. Nous nous concentrons plus particulièrement sur les fascinants solitons, modes d’excitations collectives se comportant comme des quasi-particules relativistes et qui possèdent des propriétés remarquables en faisant l’analogie avec la physique des hautes énergies (relativité, création de matière et d’antimatière, lois de conservations et symétries).  

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Ce cours est destiné à des étudiants de physique désireux d'apprendre des notions de mathématique utiles dans de nombreux domaines de la physique (mécanique quantique, mécanique classique, relativité, électromagnétisme, élasticité, mécanique du solide, robotique et théorie du contrôle,...).

L'objectif est d'introduire des concepts et outils de base en géométrie différentielle et en topologie (variétés différentiables, espaces fibrés avec connections, géométrie riemannienne, géométrie symplectique), en donnant tout au long du cours des applications précises à la physique. L'intérêt de la géométrie différentielle pour la physique est non seulement de fournir des outils de calculs, mais surtout de proposer un cadre de pensée où l'on fait ressortir l'identité géométrique des objets manipulés. Ce mode de pensée est très fécond, et parfois même indispensable.

Dans ce cours on se concentre sur la notion d'espace fibré avec connexion. C'est une notion de géométrie et de topologie qui est à la base de la formulation de nombreuses théories physiques: l'électromagnétisme, la relativité générale, les théories de Jauge, et apparaît de façon naturelle pour expliquer des phénomènes comme: le pendule de Foucault, la phase de Berry, l'effet Hall quantique, les conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld, la raideur d'un ressort, ...

Dans un souci de clarté et de pédagogie, les notions présentées seront toujours associées à des exemples simples, et illustrées autant que possible. On donnera des suggestions d'ouvrages et un guide à la littérature pour les étudiants qui seraient désireux d'approfondir les mathématiques ou conforter leurs bases.

Des notes de cours  sont à disposition.

 Plan 

1. Le pendule de Foucault. Connexion sur un fibré vectoriel. Transport parallèle. 
   Chapitre d'introduction. On présente les notions de: fibré tangent TS2. Connexion géométrique. Holonomie. Courbure. Indice de Chern du fibré. Autres applications: description géométrique de la chute d'un chat qui se retourne, d'une bactérie qui nage, de la torsion d'un brin d'ADN, de la raideur d'un ressort.
2. Équation de Schrödinger et phase de Berry. 
   Théorème adiabatique et phase de Berry. Aspect topologique des dégénérescences du spectre. Indices topologiques de Chern. Applications: Monopole magnétique. Effet Aharanov Bohm. Effet hall quantique entier. Transport topologiques de charges en physique mésoscopique. Aspect topologique des systèmes quantiques couplés. Manifestation de la formule de l'indice d'Atiyah-Singer en physique moléculaire.

Vous trouverez des renseignements complémentaires sur la page de présentation du cours

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Ce cours est destiné aux étudiants en physique souhaitant se familiariser avec certaines méthodes mathématiques utilisées dans l'étude d'équations aux dérivées partielles (EDP) afin de pouvoir les appliquer à bon escient dans les cas concrets qu’ils ne manqueront pas de rencontrer dans leur pratique.

On abordera dans ce cours les propriétés de quelques EDP emblématiques de la physique, linéaires et non linéaires, telles les équations des ondes, de transport, de Schrödinger, de la chaleur, de  Navier Stokes, de réaction-diffusion,.... L'objectif poursuivi est d'introduire et illustrer par ces cas particuliers quelques méthodes de résolution et d'approximation de solutions d'EDP parmi lesquelles la séparation des variables, la méthodes des caractéristiques, la notion de solutions élémentaires, le semi-classique, ou les approches variationnelles. On introduira également la notion de distribution, qui généralise la notion de fonction, et permet de donner un sens précis à la "fonction" de Dirac, ou à la "partie finie" de 1/x, par exemple. Les propriétés principales des distributions seront discutées assez en détail, en particulier les notions de dérivée, de transformée de Fourier, de multiplication par des fonctions et de convolutions appliquées aux distributions seront discutées. Ceci nous permettra de mettre en évidence leur rôle central dans la construction et l'étude de solutions au sens faible d'EDP linéaires au moyen de solutions élémentaires ou fonctions de Green.  

Les aspects techniques seront réduits au minimum afin de favoriser l'exposition des idées générales et l'étude d'exemples emblématiques. 

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