UE Découverte des mathématiques appliquées (MAP 151)

Cet enseignement introduit à la modélisation d'outils mathématiques pour implémentation sur ordinateur.

Objectifs :

Développer des méthodes mathématiques de calcul approché de certains concepts comme l'intégrale ou les solutions d'équations différentiels dans le but de pouvoir les implémenter sur un ordinateur dont la capacité mémoire est finie et analyser les erreurs inévitables faites lors du procédé d'approximation.

Baccalauréat général option Mathématiques spécialité / Mathématiques expertes.

Chapitre 1 : le premier chapitre commence par une courte introduction sur les erreurs en analyse numérique. On apprend ensuite à coder un nombre réel en 64 bits.
Chapitre 2 : dans le chapitre 2, on introduit un outil qui sera très important tout au long du semestre, le polynôme d'interpolation de Lagrange, en utilisant les polynômes de base de Lagrange et la formule de Newton. On analyse ensuite l'erreur fait lors de l'interpolation et on étudie les points de Tchebychev. On part ensuite sur de l'interpolation par morceaux et on introduit le polynôme d'interpolation de Hermite.
Chapitre 3 : On introduit rapidement l'approximation de la dérivée. Puis on passe directement aux méthodes de quadrature pour le calcul des intégrales. On donne une méthode générale qu'on applique pour retrouver les méthodes usuelles (rectangles, point milieu, trapèze, Simpson). On étudie ensuite en détail les erreurs pour ces différentes méthodes.
Chapitre 4 : à l'aide des méthodes de quadrature, on commence par les méthodes à un pas pour approcher les solutions d'équations différentielles. On applique cela, dans le cours, pour obtenir les méthodes d'Euler explicite et implicite. On étudie la consistance, la stablité et la convergence de la méthode d'Euler explicite. On étudie ensuite les méthodes d'Adams-Bashforth à pas multiples sans étudier en détail la consistence et la stabilité.
Chapitre 5 : dans le chapitre 5, nous étudions les méthodes classiques d'approximation des solutions d'équations non linéaires (méthode de dichotomie, de la sécante, de Newton, de point fixe) et nous donnons les estimations d'erreur pour ces méthodes.

Cours magistraux, Travaux Dirigés, Travaux Pratiques sur ordinateur.

• Maîtriser les outils mathématiques nécessaires à l'étude des erreurs et la construction de formule d'approximation.
• Savoir implémenter les différentes méthodes sur ordinateur.

Analyse numérique et équations différentielles, Jean-Pierre DEMAILLY