UE Equations différentielles ordinaires

Informations aux utilisateurs

Veuillez noter que vous consultez une page du catalogue de formation 2020-2021. Le recrutement est actuellement terminé pour les licences, licences professionnelles, masters, DUT et formations réglementées de santé. Pour consulter le catalogue des formations 2021-2022, cliquez sur le lien suivant.

Diplômes intégrant cet élément pédagogique :

Descriptif

Le but du cours est d'affermir les connaissances sur les équations différentielles ordinaires (EDO) en mettant l'accent sur des questions de dynamique, mais aussi de donner de nouveaux outils d'analyse, et d'introduire quelques questions liées aux équations aux dérivées partielles.

Descriptif

  1. Théorèmes d'existence locale pour le problème de Cauchy : Formulation intégrale d'une EDO, théorème de Cauchy-Lipschitz (en dimension finie et dans un espace de Banach quelconque) et théorème de Cauchy-Peano.
  2. Lemme de Gronwall : Unicité dans le cadre du théorème de Cauchy- Lipschitz. Solutions maximales.
  3. Existence globale et explosion : théorème des bouts.
  4. Étude qualitative en dimension 1 : Principe de comparaison, critères d'existence globale, exemples d'explosion en temps fini, comportement asymptotique des solutions.
  5. Flot associé à une EDO : Dépendance par rapport aux données initiales ; théorème de redressement du flot.
  6. Comportement en temps grand des solutions des EDO autonomes : Stabilité et stabilité asymptotique des points d'équilibre ; cas des puits linéaires ; théorèmes de Lyapunov.
  7. EDO d'ordre 2 : Théorèmes d'oscillation et de comparaison, problème de Sturm-Liouville.
  8. Théorie hilbertienne des séries de Fourier en une variable. Utilisation des séries de Fourier pour la résolution de l'équation de la chaleur sur un segment.
  9. Convolution et transformation de Fourier dans Rd : Convolution de deux fonctions dans L1(Rd). Transformation de Fourier sur L1(Rd). Transformée de Fourier d'un produit de convolution. Transformée de Fourier de la densité d’une gaussienne centrée. Formule d'inversion pour une fonction intégrable ayant une transformée de Fourier intégrable. Formule de Plancherel. Définition de la transformée de Fourier d'une fonction de L2(Rd). Convolution de deux mesures positives finies. Cas où l'une des deux mesures possède une densité.

Pré-requis recommandés

Le cours utilisera les notions suivantes du programme de Licence 3.

  • Espaces de Banach, théorème de point fixe par contraction, théorème d'Ascoli
  • Espaces de Hilbert, théorème de projection, bases hilbertiennes
  • Théorie de l'intégration de Lebesgue, théorème de convergence dominée.
  • Séries de Fourier en une variable : définition, convergence quadratique et ponctuelle dans le cadre continu par morceaux ou C1 par morceaux

Informations complémentaires

Méthode d'enseignement : En présence
Lieu(x) : Grenoble
Langue(s) : Français