UE Analyse fonctionnelle

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Diplômes intégrant cet élément pédagogique :

Descriptif

Le but de ce cours est de démontrer les principaux théorèmes qui servent de base à l'analyse dans les espaces de Banach de dimension infinie, et d'en présenter un certain nombre d'applications.

Descriptif

  1. Espaces de Banach : exemples classiques, théorèmes de complétude, inégalités fondamentales. Opérateurs linéaires bornés entre deux espaces, formes linéaires, espace dual.
  2. Théorème de Hahn-Banach : axiome du choix, lemme de Zorn, et forme analytique du théorème. Bidual d'un espace de Banach, réflexivité. Dual des espaces ℓp(N) et Lp(Ω).
  3. Lemme de Baire et théorème de Banach-Steinhaus. Convergence faible d'une suite dans un espace de Banach, et convergence faible-étoile d'une suite dans son dual. Compacité séquentielle faible de la boule unité d'un espace réflexif.
  4. Théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé. Supplémentaire topologique d'un sous-espace fermé, projecteurs continus, opérateurs inversibles à gauche ou à droite.
  5. Introduction à la théorie spectrale des opérateurs linéaires bornés dans un espace de Banach. Spectre, ensemble résolvant, opérateur résolvant, rayon spectral. Éventuellement : théorie spectrale des opérateurs compacts.
  6. Espaces de Sobolev en dimension un. Espaces H1(I) et H10(I) où I est un intervalle borné : inégalité de Poincaré, injection dans les fonctions continues, caractérisation à l'aide des séries de Fourier. Espace H1(R), caractérisation à l'aide de la transformée de Fourier. Application à la résolution de problèmes elliptiques en dimension un.

 

Pré-requis recommandés

  • Le cours repose essentiellement sur la topologie des espaces métriques et des espaces vectoriels normés étudiée au premier semestre du L3. Le langage de la topologie générale est également utilisé.
  • La théorie de l'intégration vue au second semestre du L3 est nécessaire pour traiter des exemples classiques comme les espaces Lp.
  • Les séries de Fourier et la transformation de Fourier, qui figurent au programme du cours Équations différentielles ordinaires au premier semestre du M1, interviennent dans l'étude des espaces de Sobolev.

Informations complémentaires

Méthode d'enseignement : En présence
Lieu(x) : Grenoble
Langue(s) : Français