UE Calcul différentiel B

Diplômes intégrant cet élément pédagogique :

Descriptif

Ce cours comprend trois grandes parties. La première concerne le calcul différentiel en dimension
finie (avec un accent mis sur les dimensions deux et trois), la seconde les équations différentielles
(essentiellement linéaires), et la troisième les courbes et les surfaces (CAPES).


I. Calcul différentiel dans R n

1. Fonctions différentiables
(a) Fonctions différentiables d’un ouvert de R n à valeurs dans R m . Dérivées partielles, jaco-
bienne. Inégalité des accroissements finis.
(b) Dérivées d’ordre deux. Formule de Taylor à l’ordre deux, théorème de Schwarz. Matrice
hessienne.
(c) Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites. Applications (stabilité d’une racine
simple d’un polynôme, d’un point fixe d’un système dynamique).
2. Extréma
(a) Extréma libres : recherche d’extréma. Points critiques, étude locale, lien avec la hessienne.
(b) Extréma liés dans R 2 et R 3 .
(c) Extréma provenant de la géométrie du triangle.


II. Équations différentielles

1. Le cas linéaire
(a) Théorème de Cauchy-Lipschitz pour y 0 = A(t)y + B(t). Théorème du point fixe pour la
démonstration de C-L. Structure de l’espace des solutions, Wronskien.
10(b) Cas particuliers : n = 1, n > 2 et A constante, exponentielle de matrice, variation de
la constante, systèmes 2 × 2 à coefficients constants, équations scalaires du second ordre
x 00 + a(t)x 0 + b(t)x = c(t).
2. Le cas non linéaire en dimension 1
(a) Le théorème de Cauchy-Lipschitz pour y 0 = f (t; y).
(b) Quelques exemples de problèèmes de la forme a(t)y 0 = f (t; y) avec a(0) = 0 : recollement
de solutions.

III. Courbes et surfaces dans R 3

1. Courbes
(a) Courbes paramétrées de R 2 et R 3 , tangente.
(b) Propriétés métriques : longueur, abscisse curviligne, courbure, torsion, repère de Frenet.
Caractérisation d’une courbe par la courbure et la torsion à isométrie près.
(c) Étude de courbes singulières.
2. Surfaces
(a) Surfaces dans R 3 paramétrées ou définies de façon implicite. Plan tangent. Position de la
surface par rapport au plan tangent.
(b) Propriétés métriques : longueur, aire, formes fondamentales, courbure de Gauss.

Informations complémentaires

Méthode d'enseignement : En présence
Lieu(x) : Grenoble
Langue(s) : Français