UE Systèmes dynamiques, chaos et applications

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Descriptif

La théorie des systèmes dynamiques a comme enjeu l'étude des systèmes régis par des lois élémentaires simples, déterministes ou stochastique et manifestant des phénomènes émergeants complexes et inattendus.

Le cours vise à introduire les étudiants aux concepts de base de la physique non-linéaire, à la théorie des systèmes dynamiques et à la théorie du chaos. L'objectif est de fournir aux étudiants des méthodes d'analyse, une approche géométrique ainsi que la connaissance et la compréhension d'exemples concrets marquants et divers, issus de la physique (physique des fluides, astronomie, mécanique quantique, physique de la Terre), de l'ingénierie, de la biologie, de la chimie, de l'économie et des mathématiques.

 Nous présenterons aussi quelques enjeux majeurs de la recherche actuelle. Il apparaît en effet que les grands défis scientifiques du XXIe siècle sont reliés à des questions de systèmes dynamiques complexes comme: QCD et confinement des quarks, la conjecture de Riemann, turbulence et équations de Navier-Stokes, le vivant (morphogénèse, comportement du cerveau, évolution des espèces), les sociétés (interactions complexes, économie) .

Il est basé sur le plan suivant :

  • Introduction : modèles caractéristiques de systèmes dynamiques, espace des phases, section de Poincaré, exemples : pendule amorti et entretenu, application logistique, ensemble de Mandelbrot, oscillateur chimique.
  • Bifurcations dans les systèmes unidimensionnels, cycles d'hystérésis, oscillateurs, synchronisation (lucioles, jonctions Josephson).
  • Flots bidimensionnels et applications : classement des points fixes des systèmes linéaires, stabilité, bassins d’attraction, cycles limites (fonction de Lyapunov, théorème de Poincaré-Bendixon), oscillateurs (cycles glaciaires, équation de Duffing), bifurcation de Hopf et réactions chimiques oscillantes, quasi-périodicité, verrouillage en fréquence, théorie de Kuramoto,
  • Systèmes de dimension infinie de type théorie des champs: instabilités hydro, ondes solitaires, modèles de morphogénèse de type réaction-diffusion.
  • Dynamique hyperbolique à travers des exemples : dynamique symbolique, fractals, dimension de Haussdorff, ergodicité, mélange, théorème central limite.
  • Présentation de modèles évolués : attracteur de Lorenz, application de Hénon, systèmes hamiltoniens, billards, théorème KAM, scenario de Poincaré-Melnikov, anneaux de Saturne, chaos dans le système solaire, chaos spatio-temporel et turbulence.

Pré-requis

Tous les cours de L3 de physique, et en particulier celui de mécanique analytique

Bibliographie

Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Steven H. Strogatz

"Pattern formation and dynamics in Nonequilibrium Systems". 2009. Michael Cross, Henry Greenside,

"Physique des solitons", Michel Peyrard et Thierry Dauxois. 2004.

Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Morris W. Hirsch, Stephen Smale , Robert L. Devaney

L'ordre dans le chaos, Pierre Bergé, Yves Pomeau, Christian Vidal

Informations complémentaires

Langue(s) : Français