UE Algèbre 1

Diplômes intégrant cet élément pédagogique :

Descriptif

Programme

 Compléments sur les anneaux

  • Anneaux factoriels, théorème de Gauss

  • Algèbre des polynômes en un nombre fini de variables, polynômes symétriques, séries formelles en une variable

  • Lien entre coefficients et racines d’un polynôme

  • Polynômes irréductibles, critères d’irréductibilité (Eisenstein, etc.)

 Introduction aux modules et aux algèbres

  • Notion de module (sur un anneau commutatif), exemples sur K[X] et sur Z, homomorphismes

  • Modules libres, contre-exemples

  • Opérations sur les lignes et colonnes d’une matrice à coefficients dans un anneau euclidien, invariants de similitude

  • Théorème de la base adaptée sur un anneau euclidien

  • Structure des groupes abéliens finis (l’unicité sera admise)

  • Notion d’algèbre, premiers exemples (matrices, algèbre d’un groupe fini sur C)

 Corps (les corps considérés sont commutatifs)

  • Corps des fractions d’un anneau intègre, fractions rationnelles

  • Racines de l’unité, sous-groupes finis du groupe des éléments inversibles d’un corps, polynômes cyclotomiques

  • Degré d’une extension de corps, multiplicativité

  • Corps de rupture, corps de décomposition

  • Corps algébriquement clos (définition), le corps C des nombres complexes est algébriquement clos

  • Élément algébrique, transcendant, polynôme minimal, extension algébrique

  • Corps finis, structure, existence et unicité

Pré-requis

Cours d’algèbre de L3.

Informations complémentaires

Méthode d'enseignement : En présence
Lieu(x) : Grenoble - Domaine universitaire
Langue(s) : Français