Licence Mathématiques

Il s'agit d'un enseignement d'introduction à la mécanique. On étudie des mouvements à forces constantes dans un référentiel galiléen. Les applications sont illustrées en travaux pratiques et complétées par l'étude expérimentale des frottements fluides.

Contenu du cours :

Chapitre 1 : Lois de Newton
> Application du principe fondamental de la dynamique. Applications à des mouvements à forces constantes. Cinématique en coordonnées cartésiennes.

Chapitre 2 : Forces de frottements
> Frottements solides, condition d'équilibre et cas de glissement
> Modélisation des frottements fluides en travaux pratiques

Chapitre 3 : Approche énergétique
> Définition du travail et de la puissance d'une force constante.
> Définition d'une force conservative et énergie potentielle de pesanteur.
> Application du théorème de l'énergie cinétique et du théorème de l'énergie mécanique aux mouvements à force constante

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Partie « Analyse élémentaire » :

- fonctions, continuité

- dérivées

- intégrales et primitives

- équations différentielles

Partie « Introduction au calcul scientifique » : apprentissage d’un logiciel de programmation en calcul scientifique, puis traitement de thèmes classiques en calcul scientifique (zéros de fonction, interpolation, intégration numérique, …)

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Chap 1: Nombres, ensembles, et langage mathématique
Ensembles
Nombres entiers naturels et relatifs, intervalles de Z
Nombres rationnels, division, ordre, intervalles de Q
Nombres réels, propriété de la borne supérieure, valeur
absolue, approximation et inégalités

Chap 2: Nombres complexes et géométrie
Nombres complexes, formes algébrique, trigonométrique,
module, argument
Equations de degré 2
Exemples d’équations de degré 3 ou plus (racines n-ièmes)
(Théorème de Gauss)
Géométrie du plan: transformation C-(anti-)affines =
similitudes (in)directes

Chap 3: Raisonnements et preuves
Quantificateurs
Assertions
Axiomes et démonstrations (preuve directe, disjonction de
cas, absurde, contraposée, récurrence)
Identités remarquables (séries arithmétique et géométrique)

Chap 4: Fonctions et combinatoire
Notion de fonction, injection, surjection, bijection
Notion de cardinal
Coefficients binomiaux, triangle de Pascal
Dénombrement

Chap 5: Suites et limites

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* Introduction à la programmation dans un langage de type "impératif" :
  o Variables ; instructions d'affectation, d'entrées-sorties ;
  o Composition des instructions : séquentielle, conditionnelle et itérative.
  o Structuration des programmes et ré-utilisation : procédures et fonctions
  o Types simples et structurés (listes, dictionnaires, ... )
* Démarche de programmation :
  o de l'énoncé à un algorithme : spécification, analyse descendante
  o mise en oeuvre sur machine : codage, tests.
* Expérimentation sur machine dans le langage Python 3

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  Enseignement Transversal au Choix (ETC)

  Formation Bureautique et Internet (FBI)

1. Enseignement Transversal au Choix (ETC)

Diffusion des savoirs

Réflexion à propos des sciences et histoire des sciences

Développement et engagement personnel

Connaissance du monde professionnel, entrepreneuriat, orientation et insertion professionnelle

Langues (dont Français Langue Étrangère non Erasmus)

Sport

2. Formation Bureautique et Internet (FBI)

Développer et perfectionner vos compétences numériques

Vous préparer à affronter les défis élémentaires d'un monde de plus en plus digital

Travailler les cinq domaines de compétences numériques (selon le référentiel européen DIGCOMP) en s'appuyant sur la plate-forme française Pix (https://pix.fr/) :

- Informations et données

- Communication et collaboration

- Création de contenu

- Protection et sécurité

- Environnement numérique

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L'UE Mat105 "Culture Mathématique" est une UE qui est destinée aux étudiants de la filière IMA qui souhaitent s'orienter vers les Mathématiques (L2 MAT ou MIN). Elle leur permet :

- de découvrir de nouvelles mathématiques, différentes de celles plus classiques qu'ils vont travailler dans les autres UE de Maths ;

- de pratiquer le processus de recherche et de preuve de bout en bout, par exemple lors de situations de recherche. Il s'agit de développer les compétences attendues d'un mathématicien : chercher, expérimenter, modéliser, calculer, raisonner et communiquer, en particulier par la production de démonstrations écrites.

C'est donc une UE qui se veut être l'occasion d'augmenter la culture mathématique des futurs matheux mais aussi de travailler la méthodologie de la preuve.

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Cette UE de première année de 3 ECTS donne les bases de l’optique géométrique (lois de Snell-Descartes, formation des images, lentilles, systèmes optiques à une ou plusieurs lentilles). L’enseignement est mis en place selon une approche par problème (APP) avec du travail en équipes.

Elle est dispensée au S1 pour les parcours PCMM, PR, STE et IMA (en option), puis au S2 pour le parcours SPI.

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Programme résumé :

• Types simples, produit, somme ; vérification et inférence de type
• Fonctions : spécification, réalisation
• Composition fonctionnelle et conditionnelle ; analyse descendante, analyse par cas
• Définitions récursives de types et de fonctions ; analyse récurrente, équations récursives, modèles d'analyse
• Constructeurs de types complexes : naturels de Peano, séquences, arbres binaires, ...
• Ordre supérieur : introduction, lambda-notation, fonctions anonymes, description de schémas de programmes
• Expérimentation sur machine : langage : Ocaml ; exploitation des informations fournies par l'interprète du langage (messages d'erreurs, vérification et inférence de type) ; problématique de test et de mise au point des programmes : observation de traces d'exécution.

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Ce cours est destiné aux étudiants qui s'orientent vers les
mathématiques ou l'informatique. Il couvre les concepts de base de
l'algèbre linéaire.

- Systèmes d’équations linéaires, résolution par la méthode du pivot de Gauss.

- Espace vectoriel réel, sous-espace vectoriel, sous-espace engendré,
combinaisons linéaires, familles de vecteurs libres et liées, bases,
dimension.

- Application linéaires, noyau, image, théorème du rang.

- Matrices, somme, produit. Matrice d'une application linéaire,
matrice de la composée.Inverse d'une matrice. Calcul en dimension
deux et trois. Expression matricielle des équations linéaires.

- Exemples en dimension 3 : rotations, symétries.

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1 : l’oscillateur harmonique :
Forces de rappel, equation différentielle du mouvement, oscillations libres, pulsation, fréquence, période. Le pendule. Oscillations libres amorties, facrteur de qualité, régime critique, apériodique et pseudopériodique.
2 : collisions. Systèmes à deux corps :
Collisions élastiques, inélastiques, lois de conservation ; transfert d’énergie cinétique, référentiel du centre de masse. Champ de gravitation, notion du poids d’un corps. Variation de g avec l’altitude
3 : moment d’une force et mouvement à force centrale :
Moment d’une force, théorème du moment cinétique, mouvement à force centrale, loi des aires.

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Cette UE de première année de 3 ECTS donne les bases de l’optique géométrique (lois de Snell-Descartes, formation des images, lentilles, systèmes optiques à une ou plusieurs lentilles). L’enseignement est mis en place selon une approche par problème (APP) avec du travail en équipes.

Elle est dispensée au S1 pour les parcours PCMM, PR, STE et IMA (en option), puis au S2 pour le parcours SPI.

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Programme résumé :

• Illustrations sur des objets informatiques de notions mathématiques de bases (logique, ensemble, relation, structures inductives)
• Fondement du raisonnement, preuve, récurrence : preuve formelle en déduction naturelle et rédaction de preuves
• Abstraction et modélisation pour la résolution de problèmes
  • modélisation à partir d'un énoncé en langue naturelle
  • application à des problèmes concrets, outils théoriques de modélisation
• itération et récursivité,
• structures abstraites (arbres, listes, relations binaires)
• Mise en œuvre sur des programmes impératifs et fonctionnels, ainsi que sur de courts documents alliant texte et schémas, pour la résolution rigoureuse de problèmes très simples

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Programme résumé :

• introduction aux automates
• programmation en C : codage de l'information, bibliothèques standard, mémoire
• éléments de système : interpréteur, système de fichiers, programmation shell
• outils : gcc, make, gdb
• projet : utilisation des notions précédentes pour la réalisation d'une partie d'un interpréteur de commandes simple

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Programme résumé :

L'enseignement est regroupé autour des deux thèmes suivants :

• Traitement d'images
• Statistique appliquée

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Les objectifs:

-appréhender la \véritable" analyse : passage _a la limite, convergence, infiniment

grands, infiniment petits, manipulation d'inégalités, approximations locales ou

globales,

- savoir choisir le bon outil,

- s'exercer _a rédiger correctement en donnant le bon argument au bon moment,

- avoir un _il critique sur les résultats obtenus.

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Programme résumé :

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* Raisonnement algorithmique: structuration d'un algorithme, différenciation
  intention vs. réalisation.
* Structures de données: abstraction algorithmique haut-niveau des ensembles,
  séquences, dictionnaires.
* Structures bas-niveau pour représenter les structures haut-niveau (schémas
  classiques d'accès, parcours, opérations de base):
  - séquentielles: représentation à base de tableaux;
  - chaînées: représentation à base de listes chaînées;
  - récursives: représentation à base d'arbres binaires.
* Structures algorithmiques itératives et récursives.
* Construction d'algorithmes complexes: utilisation d'invariants de boucles.
* Analyse d'algorithmes: complexité algorithmique.

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• Séries numériques : séries convergentes et séries absolument convergentes. Exemple des séries géométriques et des séries de Riemann. Séries à termes positifs, théorème de comparaison, règles de d'Alembert et de Cauchy. Séries alternées et séries de termes de signe quelconque (théorème d’Abel, sommation par paquets...).

• Intégrale de Riemann d'une fonction continue sur un intervalle fermé borné et lien avec la notion de primitive.

• Quelques techniques d’intégration : intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, linéarisation des polynômes trigonométriques...

• Intégration sur des intervalles non compacts : notion d’intégrale impropre. Intégrales absolument convergentes, théorèmes de comparaison et leur utilisation. Etude de quelques cas d’intégrales convergentes mais non absolument convergentes.

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Cette UE présente et développe les outils pour la réduction des endomorphismes en algèbre linéaire, comme les groupes de permutations, le déterminant, les sous-espaces propres d’un endomorphisme, les polynômes d’endomorphismes, les sous-espaces caractéristiques, la diagonalisation et la trigonalisation. Pour cela, nous aurons besoin d’arithmétique.

-- Rudiments d'algèbre linéaire.

Rappels de MAT201 (introduction à l’algèbre linéaire), avec prise en compte des scalaires complexes (e.v, s-e.v, bases, dimension, sommes
directes, applications linéaires, reresentations matricielles, changements de base, sous-espaces stables, blocs).
Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme, les espaces propres sont en somme directe.

-- Groupes de permutations et déterminants.

Permutations, cycles, transpositions, décomposition en cycles disjoints, signature, déterminant d'une matrice carrée, méthodes de
calcul, critère d'inversibilité, calcul d'inverse, rang.

-- Arithmétique des entiers et des polynômes.

Sur Z : division euclidienne, résidus modulo n (on évoquera Z/nZ), pgcd, primalité relative, théorème de Bachet-Bezout et algorithme d'Euclide étendu, Lemme de Gauss, primalité, factorisation, infinitude des nombres premiers, théorèmes de Fermat, et des restes Chinois.
Sur K[X] : définitions, division euclidienne des polynômes, et conséquences (pgcd, Bezout, algorithme d'Euclide étendu, primalité relative, polynômes irréductibles et factorisation), racines, multiplicité et divisibilité, polynômes scindés, énoncé du théorème de d'Alembert-Gauss.

-- Réduction d'endomorphismes

Polynôme caractéristique, diagonalisabilité, critère du polynôme caractéristique scindé à racine simples, multiplicité géométrique et algébriques des racines du polynôme caractéristique, polynômes d’endomorphismes, polynôme minimal, Lemme de décomposition des noyaux, Théorème de Cayley-Hamilton, critère de diagonalisabilité du polynôme minimal scindé à racine simples.
Trigonalisabilité, critère du polynôme caractéristique scindé, sous-espaces caractéristiques, cas des matrices qui sont en forme de Jordan.

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Cette UE aborde  la topologie d’espaces vectoriels réels, et l’etude des fonctions de plusieurs variables, jusqu’à quelques aspects de calcul différentiel, que l’on appliquera à la paramétrisation de surfaces dans R^3.  Cette UE  aborde également l’étude des courbes paramétrées, fonctions d’une variable réelle mais à valeur dans un espace vectoriel de dimension 2 ou 3.  

1: Topologie et continuité (6 séances)

Topologie élémentaire de l'espace vectoriel de dimension finie (pour la norme euclidienne).  
Suites de Cauchy et suites convergentes. Ensembles ouverts et fermés. Description d'ensembles fermés en termes de suites.
Compacité séquentielle (i.e.  la propriété de Bolzano-Weierstrass).
Continuité des fonctions sur ces espaces. Définition de Cauchy de limites de fonctions entre espaces vectoriels de dimension finie (munis des normes euclidiennes). Limites en termes de suites.
Continuité et continuité uniforme. Propriétés topologiques de la continuité : l'image réciproque d'un ouvert (resp., fermé) est ouverte (resp., fermée) ; l'image directe d'un compact est compacte. Toute fonction scalaire continue sur une partie compacte admet un maximum et un minimum. Toute fonction continue sur une partie compacte est uniformément continue (thm de Heine).

2: Calcul différentiel (4-5 séances)

Dérivées directionnelles et dérivées partielles des fonctions à valeurs vectorielles.  Différentielle au sens de Fréchet. Lien entre les trois notions.
Fonction de classe  C^p, pour p naturel. Toute fonction de classe C^1 est différentiable. Cas particulier du gradient.
Plan tangent à surface paramétrée différentiable. Symétrie de la différentiabilité d'ordre 2 (thm. attribué à K. Schwarz et/ou à A.-C. Clairaut). Développement de Taylor d'ordre 2. Extrema libres pour des fonctions de deux variables.

3: Courbes paramétrées  (3-4 séances) 

Courbes dans le plan et dans l'espace.
Régularité et orientation de courbes.
Vecteur tangent.
Longueur et abscisse curviligne d'une courbe.
Exemples basiques (e.g. spirales).
Courbure (principale) et torsion. Eventuellement : formules de Serret-Frenet.

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Programme résumé :

• Thème 0 : Définition inductive et preuve par induction
  • Théorème de Kleene et points fixes
  • Schéma de preuve par induction

• Thème 1 : Automates
  • Expression d'algorithmes par des automates : actions, contrôle ; configurations, traces d'exécution
  • Correction partielle d'un automate : invariants, schéma de preuve
  • Correction totale, schéma de preuve

• Thème 2 : Langages réguliers et automates d'états finis
  • Reconnaissance d'un langage régulier par un automate d'états fini
  • Propriétés algébriques des langages réguliers
  • Notion de non déterminisme, déterminisation d'un automate
  • Problèmes de décision : langage vide, langage infini

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Electrostatique et Magnétostatique avec une ouverture sur l'électromagnétisme dans le vide.

Electrostatique : loi de Coulomb, théorème de Gauss, potentiel scalaire, dipôle électrique, théorème de Coulomb, notion de capacité, énergie potentielle électrostatique.

Electrocinétique : densité de courant, loi d'Ohm. Magnétostatique : force de Lorentz, relations de Biot-Savart, conservation du flux, théorème d'Ampère, force de Laplace. Induction magnétique : loi de Faraday, loi de Lenz, auto-induction, induction mutuelle.

Electromagnétisme : équations de Maxwell et prédiction de l'existence des ondes électromagnétiques dans le vide.

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Cette UE munit les espaces vectoriels d’une structure supplémentaire, ajoutant une géométrie à algèbre linéaire pure, et permettant d’étudier des notions d’orthogonalité, des espaces Euclidiens ou de signature variées, et certains endomorphismes remarquables. 

I. Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques
     Formes bilinéaires, représentation matricielle,  formes quadratiques

II. Orthogonalité
     Définitions (orthogonalité et isotropie),  bases orthogonales, Théorème de Gram-Schmidt pour les formes bilinéaires anisotrope, réduction de Gauss des formes quadratiques.

III. Formes bilinéaires et quadratiques réelles, produit scalaires
    Formes positives, négatives, produits scalaires. Propriétés algébriques et métriques des produits scalaires. Formes quadratiques réelles (signature, diagonalisation des matrices symétriques)

IV. Géométrie euclidienne
   Adjoint d'un endomorphisme. Endomorphismes symétriques et projections orthogonales d'un espace euclidien. Isométries d'un espace Euclidien (en particulier en dimension 2 et 3). Réduction des coniques et des quadriques.

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Cette UE aborde les convergences de suites de fonctions, et de séries de fonctions, ainsi que les décompositions de certaines fonctions en séries : les fonctions développables en séries entières, et les décompositions en série de Fourier, un outil d’analyse des fonctions périodiques, essentiel dans le traitement du signal et l’étude de certaines équations différentielles.

1. Suites de fonctions
        Convergence simple, convergence uniforme, propriétés de la limité

2. Séries de fonctions
       Convergences simple, uniforme et normale, et propriétés

3. Séries entières
       Rayon de convergence, fonctions développables en série entière et propriétés

4. Séries de Fourier
       Séries trigonométriques et coefficients de Fourier, convergence des séries de Fourier. Exemples remarquables et compléments.

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La théorie des probabilités, c'est à dire l'étude mathématique des phénomènes aléatoires, occupe aujourd’hui une place centrale dans la plupart des sciences, tout d’abord, de par ses applications pratiques. En plus d'être la base des statistiques, elle permet la modélisation de nombreux phénomènes, aussi bien en sciences naturelles (physique, chimie, biologie, climatologie, etc.) qu’en sciences humaines (économie, sociologie, par exemple).

Chapitre 1 : Un peu d'analyse combinatoire

 Modélisation des phénomènes aléatoires. Cardinal d'un ensemble.  Analyse combinatoire : dénombrement de fonctions entre ensembles, dénombrement des parties d’un ensemble, partitionnement.

Chapitre 2 : Espace probabilisé

Tribus et probabilités. Indépendance. Probabilités conditionnelles

Chapitre 3 : Variables aléatoires

 Variables aléatoires discrètes : exemples importants, vecteurs aléatoires discrets, espérance, variance, fonctions génératrices. Variables aléatoires à densité. Convergences de suite de variables aléatoires

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Programme résumé :

• Logique propositionnelle :
  • Syntaxe et sémantique
  • Algèbre de Boole : structure mathématique sous-jacente
  • Transformations de formules
  • Étude de la validité d'une proposition par une méthode algorithmique
• Vers la logique du premier ordre (LPO)
  • Étude de la validité d'un énoncé par une méthode déductive
• Sémantique de la logique du premier ordre (LPO)
  • Domaine, interprétation
  • Construction de modèle
  • Lois de manipulation des quantificateurs
  • Résolution au premier ordre

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Représentation des nombres dans un ordinateur, problèmes de précision et
sensibilisation à la gestion des erreurs.
• Résolution d’équations non linéaires : principe de dichotomie, méthode de Newton,
équations polynomiales.
• Approximation polynomiale : polynômes de Lagrange, polynômes orthogonaux.
• Intégration numérique : méthodes des rectangles, des trapèzes, de Newton-Cotes et
de Gauss-Legendre
• Autres thématiques : algèbre linéaire, équation différentielle...

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Programme résumé :

• Probabilités :
  • Evénements, probabilités conditionnelles, indépendance, formule de Bayes, formule des probabilités totales. Lois discrètes et continues usuelles.
  • Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
  • Théorème de Moivre-Laplace, Théorème central limite et ses applications.
• Statistique :
  • Statistique descriptive,
  • Terminologie,
  • Variables statistiques discrètes et continues
• Statistique décisionnelle :
  • Estimation, maximum de vraisemblance, intervalles de confiance, droite de Henry.
  • Tests statistiques usuels paramétriques, risques, p-valeur.
  • Tests de comparaison d'échantillons.
  • Tests d'adéquation et d'indépendance du Khi-deux.

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L’UE oral consiste en une épreuve orale d’une durée de 30 minutes. Cetteépreuve porte sur le programme des deux matières du semestre S5 (algèbre et topologie) : le candidat peut être interrogé indifféremment sur le programme de l’une ou l’autre de ces matières (à l’exception des candidats ayant déja acquis l’une d’elles ou n’étant inscrits que dans une matière du premier semestre). Une liste de thèmes est proposée au candidat (au minimum 10 dans chaque UE). Le candidat choisit 4 de ces thèmes(2 en Algèbre et 2 en Topologie, ou 4 dans l’unique UE d’inscription) et les propose à l’examinateur, qui en retient un, sur lequel le candidat est interrogé.

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Chapitre 1 : Le corps des réels

1. Définition de R et premières propriétés
Ensembles ordonnés, bornes supérieure et inférieure, corps ordonnés. Définition de R comme unique corps ordonné possédant la propriété de la borne supérieure. Propriété d’Archimède, densité de Q dans R.
2. Suites réelles
Notion de convergence, suites croissantes majorées, caractérisation séquentielle de la borne supérieure. Valeurs d’adhérence, limites supérieure et inférieure d’une suite bornée, théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites de Cauchy, complétude. Construction de R.
3. Développement décimal
Définition, existence et unicité du développement décimal propre. Caractérisation décimale de Q.
4. Dénombrabilité
Définitions, dénombrabilité d’un produit fini et d’une union dénombrable d’ensembles dénombrables. Non-dénombrabilité de {0, 1} N et de R.
5. Fonctions réelles
Continuité en un point et sur un sous-ensemble de R, caractérisation séquentielle de la continuité. Théorème des valeurs intermédiaires, image d’un segment par une application continue.
Continuité uniforme, théorème de Heine sur un segment. Convergences simple et uniforme d’une suite de fonctions, continuité d’une limite uniforme de fonctions continues. Théorèmes de Dini.

Chapitre 2 : Espaces métriques, espaces vectoriels normés, espaces préhilbertiens

1. Espaces métriques
Distance sur un ensemble, exemples d’espaces métriques, diamètre d’une partie, distance d’un point à une partie, inégalité triangulaire inverse.
2. Espaces vectoriels normés
Norme sur un espace vectoriel, exemples d’espaces vectoriels normés, caractérisation des distances associées à une norme. Normes usuelles sur K n , où K = R ou C, inégalités de Young,
de Hölder, et de Minkowski. Equivalence des normes k · k p sur K n pour p ∈ [1, ∞]. Normes correspondantes sur C([a, b], K), et non-équivalence de celles-ci. Espaces l p .
3. Espaces préhilbertiens
Produit scalaire sur un espace vectoriel, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz, identité du parallélogramme, identité de polarisation. Caractérisation des normes associées à un produit scalaire.
4. Topologie des espaces métriques
Boules ouvertes, boules fermées, ensembles ouverts, ensembles fermés, voisinages. Une union quelconque ou une intersection finie d’ouverts est un ouvert. Cas des espaces vectoriels normés, invariance de la topologie par translation et dilatation, convexité des boules.
5. Convergence des suites
Définition, unicité de la limite, exemples. Ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite, cas des suites de Cauchy, exemples d’espaces complets ou non. Caractérisation séquentielle des ensembles fermés.
6. Fonction continues
Définition d’une application continue entre deux espaces métriques, critère séquentiel, caractérisation topologique de la continuité (l’image inverse d’un ouvert est ouvert). Compositions, sommes, ou produits d’applications continues. Applications uniformément continues, lipschitziennes. Densité d’une partie, exemples. Image d’une partie dense par une application continue et sujective. Une application continue est univoquement déterminée par sa donnée sur une partie dense.
7. Parties compactes 
Définition (par la propriété de Bolzano-Weierstrass), compacité implique complétude, parties compactes de K n . Image d’une partie compacte par une application continue. Equivalence de normes, toutes les normes sur K n sont équivalentes. Exemple de normes non équivalentes en dimension infinie. Une suite dans un compact converge vers l’ensemble de ses valeurs d’adhérence. Equivalence des propriétés de Borel-Lebesgue et de Bolzano-Weierstrass dans le cas métrique.
8. Homéomorphismes
Définition, ensembles homéomorphes, exemples (classes d’équivalence des intervalles de R).
Propriétés préservées ou non par homéomorphisme. Distances topologiquement équivalentes, distances équivalentes.
9. Aplications linéaires continues
Borne d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés, propriétés. Applications continues, lipschitziennes, espace vectoriel normé des applications linéaires continues. Cas de la dimension finie, exemple d’application linéaire non bornée en dimension infinie. Normes usuelles sur les matrices. Formes linéaires continues, dual topologique d’un espace vectoriel normé. Une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé. Prolongement d’une application linéaire sur une partie dense.

Chapitre 3 Topologie générale

1. Définitions générales
Topologie sur un ensemble, exemples d’espaces topologiques. Métrisabilité, espace séparable au sens de Hausdorff, voisinages et bases de voisinages. Topologie engendrée par une famille de parties. Topologie induite sur un sous-ensemble, cas des espaces métriques.
2. Limites et continuité
Convergence d’une suite, unicité de la limite dans le cas séparé. Continuité d’une fonction, propriétés. Caractérisation séquentielles (partielles) des ensembles fermés et des applications continues. Transport de topologie par une application, topologie induite (ou initiale) et topologie image (ou finale).
3. Intérieur, adhérence, frontière
Définitions, caractérisations, propriétés élémentaires. Comportement sous les opérations ensemblistes, image ou image inverse par une application continue. Valeurs d’adhérence d’une suite, lien avec l’adhérence de l’ensemble des valeurs de la suite. Parties denses.
4. Produits et quotients
Définition et propriétés de la topologie produit dans le cas d’un nombre fini de facteurs. Les projections canoniques sont continues et ouvertes. Cas des espaces métriques. Produit infini d’espaces topologiques, produit dénombrable d’espaces métriques. Topologie quotient, exemple.
5. Compacité
Parties compactes d’un espace topologique séparé (définies par la propriété de Borel-Lebesgue), propriétés élémentaires, séparation des ensembles compacts disjoints. Théorème de Tykhonov (admis dans le cas général). Un produit dénombrable d’espaces métriques compacts est un espace métrique compact. Séparation des fermés disjoints dans les espaces métriques.
6. Connexité
Définition et caractérisations d’un espace ou d’une partie connexe. Sous-ensembles connexes de R. Conditions suffisantes pour qu’une union de connexes soit connexe. Adhérence et image continue d’une partie connexe. Composantes connexes. Connexité par arcs, ouverts connexes d’un espace vectoriel normé. Connexité simple (facultatif). Exemple de l’ensemble de Cantor.

Chapitre 4 : Compléments et applications.

1. Espaces métriques complets
Théorème de Baire, conséquences (un espace de Banach de dimension infinie n’admet pas de base algébrique dénombrable). Suites récurrentes, théorème du point fixe de Banach.
2. Espaces de Banach
Définition, exemples (espaces de suites, espaces de fonctions), démonstration de la complétude.
3. Séries dans les espaces de Banach
Convergence et convergence absolue d’une série dans un espace de Banach. Applications : perturbations d’un endomorphisme inversible, exponentielle d’un endomorphisme, cas particulier
des matrices.
4. Espaces de Hilbert
Projection sur un convexe fermé non vide, projection orthogonale sur un sous-espace fermé, théorème de représentation de Riesz. Familles orthonormées, inégalité de Bessel, bases hilbertiennes dans le cas séparable.
5. Théorème d’Ascoli
Ensembles relativement compacts, familles uniformément équicontinues, théorème d’Ascoli.
6. Théorème de Stone-Weierstrass
Théorème d’approximation de Weierstrass, preuve de Bernstein. Algèbres de fonctions, théorème de Stone-Weierstrass.

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Théorie des groupes

Théorie élémentaire (sous-groupes, morphismes, sous-groupe engendré par une partie, cas de Z, groupes monogènes, cycliques, ordre
d’un élément, centre, produit direct, groupes d’automorphismes, sous-groupes distingués).

Groupes orthogonaux  O(E), SO(E), pour E un espace euclidien, familles génératrices
des reflexions et des renversements. Groupes GL_n(K), SL_n(K), famille des transvections, dilatations. Lien avec les opérations élémentaires sur les lignes et colonnes.

Classes latérales,   groupes quotients. Exemple : Z/nZ. Théorème de
Lagrange, factorisation des morphismes. Théorèmes d’isomorphismes.

Actions de groupes,   exemple de l’action d’un sous-groupe par multiplication à
gauche, par conjugaison. Vocabulaire : orbite, stabilisateur, noyau, action fidèle,
transitive, équation aux classes, théorème orbite/stabilisateur.

Groupes symétriques,   décomposition en cycles, classes de conjugaison (éventuelle-
ment, lien avec les partitions d’entiers), signature, groupe alterné, pour n plus grand que 5 : simplicité de A_n , sous groupes distingués de S_n.

Produits directs et semi-directs, éléments de structure des groupes finis  Cauchy, Fermat, Frobenius, nombre de points fixes lorsque G est un p-groupe, le centre dun
p-groupe est non trivial. Théorèmes de Sylow.

Introduction à la théorie des anneaux

Généralités, anneaux, sous-anneaux, morphisme d’anneaux, idéaux, idéal engendré,
exemples de Z et ses idéaux. Anneaux produits A^X , M_n (A). Anneaux de polynômes,
A[X], propriété universelle. Anneaux intègres, corps, idéal maximal, existence des
idéaux maximaux contenant un idéal strict donné (possiblement admis)

Anneaux principaux, euclidiens et leur arithmétique, pgcd, ppcm, interprétés en termes de somme et d’intersection.
Anneaux euclidiens, exemples, principalité, algorithme d’Euclide étendu.

Anneaux quotients, théorème de factorisation, théorèmes d’isomorphismes. Caractérisation des idéaux premiers et maximaux en termes d’anneau quotient, théorème
des restes Chinois. On insistera sur Z et K[X]. Caractérisation des anneaux quotients de Z et K[X] qui sont des corps en termes de primalité et d’irréductibilité
des générateurs d’idéaux.

Compléments d'Algèbre linéaire

Dualité, en dimension finie, base duale, orthogonalité, hyperplans, base anteduale,
endomorphisme adjoint et transposition.

Réduction des endomorphismes normaux d’un espace euclidien, application aux en-
domorphismes symétriques, antisymétriques, et aux isométries. On pourra évoquer
le cas hermitien.

Décomposition de Dunford (vue en TD),

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UE encouragée pour les étudiants se destinant au CAPES.

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I. Calcul différentiel dans les espaces de Banach.

1. Différentielle, dérivées directionnelles, dérivées partielles dans R^n . Théorème des
accroissements finis.
2. Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites.
3. Différentielles d’ordre supérieur. Lemme de Schwarz.
4. Formules de Taylor.
5. Fonctions convexes.
6. Forme normale des immersions et des submersions. Sous-variétés de R n, espaces
tangents (équivalence entre définitions).
7. Extrema et extrema liés.

II. Équations différentielles.

1. Équation différentielle, champ de vecteurs.
2. Théorie de Cauchy-Lipschitz locale et globale. Lemme de Gronwall. Bouts d’une
solution. Dépendance continue par rapport aux données.
3. Flot d’une équation différentielle, d’un champ de vecteurs.
4. Équations différentielles linéaires. Exponentielle dans le cas constant, stabilité dans
le cas constant, variation de la constante en général.
5. Équations différentielles autonomes : équilibres, stabilité.

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I. Espaces mesurés, espaces probabilisés

Algèbre de parties d’un ensemble E.
Exemple : les unions finis d’intervalles de R. Toute union finie d’intervalles de R peut s’écrire comme union finie d’intervalles disjoints.
Tribus sur un ensemble E. Espace mesurables. Tribu engendrée par une partie de P(E).
Tribu borélienne sur un espace topologique. Classes monotones. Théorème des classes monotones.

II. Mesures positives, probabilités

Définitions et premières propriétés.
Ensembles de mesure nulle. Propriétés vraies presque partout.8
Mesure de Stieltjes associée à une fonction croissante et continue à droite F de R dans R.
On admettra l’existence et on ne montrera que l’unicité à l’aide du théorème des classes monotones.
Mesure des intervalles ]a, b], [a, b], [a, b[, ]a, b[.
Les mesures boréliennes positives sur R sont exactement les mesures de Stieltjes. Exemples
de mesures discrètes, singulières continues, absolument continues (même si l’on ne peut
pas encore le montrer). La mesure de Stieltjes associée à F s’obtient comme mesure image
de la mesure de Lebesgue sur l’intervalle ]F (−∞); F (+∞)[ par la fonction pseudo-inverse
de F .
Mesure de Lebesgue sur R. Invariance par symétrie et translation.
Exemples de parties de R de mesure de Lebesgue nulle.
Applications mesurables entre deux espaces mesurables. Tribu initiale associée. Mesure
image. Exemples.

III. Intégration par rapport à une mesure positive

Intégration des fonctions étagées (à valeurs dans R).
Intégration de fonctions mesurables à valeurs dans [0; +∞]. Si l’intégrale est finie, la fonction est finie presque partout. Si l’intégrale est nulle, la fonction est nulle presque partout.
Intégration des fonctions intégrables à valeurs dans R et C.
Le module de l’intégrale est plus petit que l’intégrale du module. Cas d’égalité.
Liens entre l’intégrale de Riemann et l’intégrale de Lebesgue sur R.
Intégration par rapport à une mesure discrète. Intégration par rapport à une mesure à densité (ce point utilise le théorème de Beppo-Lévi).
Théorèmes de Beppo-Lévi, Fatou, convergence dominée. Continuité, dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre.
Intégrale indéfinie.

IV. Espaces L^p

(Dans la perspective de l'utilité pour les probabilités) 

Définition, inégalités de Holder et de Minkovski.
Toute série de fonctions normalement convergente dans L^p (E, A, μ) converge presque partout et dans L^p (E, A, μ). L’espace de Banach L^p (E, A, μ) est complet.
Densité des fonctions continues à support compact et des fonctions en escalier dans L^p (R^d ).
Continuité des translations dans L^p (R^d ).

V. Produit de deux espaces mesurés (ou d’un nombre fini)

Espaces, tribus et mesures produits.
Théorème de Fubini.
Mesure de Lebesgue sur R^d . Invariance par isométrie. Effet d’une application linéaire.
Formule de changement de variables (énoncée mais admise). Application à la détermination
de mesures images.

VI. Convolution et transformation de Fourier dans R^d

(Dans la perspective de l'utilité pour les probabilités, exemples
d’utilisation des théorèmes d’intégration.)

Convolution de deux fonctions dans L^1 (R d ).
Densité de C_c^∞ (R^d ) dans L^1 (R^d ).
Transformation de Fourier sur L^1 (R^d ) (convention \int f(x)e^{ −ix·\xi}  dx).
Transformée de Fourier d’un produit de convolution.
Transformée de Fourier de la densité d’une gaussienne centrée.
Formule d’inversion pour f \in L^1 (R^d ) telle que Ff soit dans L^1 (R^d).
Formule de Plancherel.
Convolution de deux mesures positives finies. Cas où l’une des deux possède une densité.

VII. Probabilités

1. Vocabulaire probabiliste
– Variable aléatoire, loi, tribu associée.
– Couples de variables aléatoires. Loi jointe et lois marginales.
– Variables aléatoires réelles : fonction de répartition, conditions d’existence d’une densité,
espérance.
– Théorème de transfert. Cas de variables aléatoires discrètes Cas de variables aléatoires
à valeurs dans R^d et à densité.
– Variance, écart-type, covariance, coefficient de corrélation.
– Probabilité et espérance sachant un événement.
2. Indépendance
– Indépendance de tribus, de variables aléatoires, de n événements, de deux événements.
– Critères pour savoir que des variables aléatoires discrètes sont indépendantes.
– Critères pour savoir que des variables aléatoires réelles sont indépendantes.
– Indépendance et espérance.
– Somme de variables aléatoires indépendantes : loi, variance.
– Loi du zéro-un de Kolmogorov.
3. Variables aléatoires à valeurs dans R^d
– Fonction de répartition.
– Espérance, matrice de covariances.
– Fonction caractéristique.
– La fonction caractéristique détermine la loi. Corollaire : critère d’indépendance des composantes.
– Fonction caractéristique d’une somme de variables aléatoires indépendantes.
– Variables aléatoires gaussiennes.
4. Théorèmes limites
– Théorèmes de Borel-Cantelli
– Convergence presque sûre, en probabilité dans L^p .
– Loi faible et loi forte des grands nombres. Loi forte prouvée seulement pour des variables
dans L^4 .
– Convergence en loi. Définitions équivalentes.
– Théorème de Lévy.
– Théorème limite central, théorème de Poisson.

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L’UE oral consiste en une épreuve orale d’une durée de 30 minutes. Cetteépreuve porte sur le programme des deux matières du semestre S5 (algèbre et topologie) : le candidat peut être interrogé indifféremment sur le programme de l’une ou l’autre de ces matières (à l’exception des candidats ayant déja acquis l’une d’elles ou n’étant inscrits que dans une matière du premier semestre). Une liste de thèmes est proposée au candidat (au minimum 10 dans chaque UE). Le candidat choisit 4 de ces thèmes(2 en Algèbre et 2 en Topologie, ou 4 dans l’unique UE d’inscription) et les propose à l’examinateur, qui en retient un, sur lequel le candidat est interrogé.

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 Ce cours a pour but d'introduire les notions topologiques de base nécessaires au calcul intégral et au calcul différentiel.

Il a aussi pour but de renforcer les bases du raisonnement, de revoir les fondements de l'analyse réelle et des fonctions continues d'une variable réelle et les généraliser aux fonctions de plusieurs variables réelles.

Préliminaires sur R.

(a) Développement décimal d’un réel. Caractérisation des nombres rationnels.
(b) L’ordre sur R. Le théorème de la borne supérieure : construction de la borne supérieure à l’aide des développements décimaux.
(c) Les suites réelles. Convergence, limite. Caractérisation séquentielle de la borne supérieure. Les suites réelles monotones. Le théorème des segments emboités et les suites adjacentes.
(d) Valeurs d’adhérence d’une suite réelle. Théorème de Bolzano-Weierstrass.
(e) Continuité d’une fonction d’une variable réelle. Critère séquentiel. Théorème des valeurs intermédiaires. Toute fonction f continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes,
(f) Convergence simple et uniforme des suites de fonctions. Limite uniforme de fonctions continues.

Espaces vectoriels normés.
(a) Norme sur un espace vectoriel réel, distance associée. Exemples fondamentaux.
(b) Cas particulier : les produits scalaires. Définition, normes et distances associées. Exemples
(c) Boules et parties bornées d’un espace vectoriel normé.
(d) Suites d’un espace vectoriel normé. Suites convergentes. Suite de R n .
(e) Parties fermées, parties ouvertes d’un espace vectoriel normé. Intersection et réunion. Adhérence, intérieur d’une partie d’un EVN.
(f) Les parties connexes par arcs d’un EVN (la connexité est hors-programme). Parties connexes par arcs de R.(g) Suites extraites et valeurs d’adhérence. Le théorème de Bolzano-Weierstrass dans R n .
(h) Parties compactes d’un EVN. Caractérisation en dimension finie.
(i) Parties denses d’un EVN.

3. Fonctions continues entre parties d’un EVN.

(a) Continuité. Critère séquentiel. Exemple : les fonctions lipschitziennes.
(b) Opérations usuelles. Composée, sommes, produits.
(c) Fonctions continues à valeurs dans R n .
(d) Fonctions continues dont la source est R n .
(e) Densité et continuité.
(f) Continuité et connexité par arcs.
(g) Compacité et continuité. Equivalence des normes dans R n .
(h) Homéomorphismes.
(i) Applications linéaires continues, caractérisation, norme.
(j) Fonctions uniformément continues. Définition, exemples, critère séquentiel. Théorème de Heine. Conséquence fondamentale : les fonctions affines par morceaux sur un segment sont denses dans l’espace des fonctions continues muni de la norme infinie.
(k) Théorème de Weierstrass (sans preuve).

4. Complétude.

(a) Suites de Cauchy d’un EVN.
(b) Parties complètes d’un EVN. Exemples : R n , C([0; 1]; R). Espaces de Banach. Dans un Banach, toute série absolument convergente est convergente. Applications : la convergence normale implique la convergence uniforme, la convergence des intégrales absolument convergentes, exponentielle de matrices.
(c) Le théorème du point fixe pour les applications contractantes. Exemples : résolution de f (x) = x pour les fonctions d’une variable réelle et retour sur les suites u n+1 = f (u n ),
méthode de Newton.
(d) Projection orthogonale. Exemple : les séries de Fourier. Les formes linéaires continues dans les Hilbert.
(e) Le théorème de prolongement des applications uniformément continues sur une partie dense. Application : une fonction dérivable sur ]a ; b] dont la dérivée est bornée se prolonge continuement sur [a ; b].

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Théorie des groupes

Théorie élémentaire (sous-groupes, morphismes, sous-groupe engendré par une partie, cas de Z, groupes monogènes, cycliques, ordre
d’un élément, centre, produit direct, groupes d’automorphismes, sous-groupes distingués).

Exemples de groupes provenant de la géométrie (en particulier planaire), groupe des racines n-ième de l’unité. Groupe orthogonal, en particulier O_2 , SO_2 , O_3 , SO_3 . Rappels sur les espaces euclidiens, isométries (directes, indirectes), matrices orthogonales. Classifications en dimension 2, rotations. Sous-groupes finis de O2(R), groupe diédral. Classification en dimension 3. Symétries, caractérisation (u_2 = Id), conjugué d’une symétrie, réflexions. Les réflexions engendrent O_n(R). Le groupe symétrique vu comme sous-groupe de O_n(R).

Quotients : Rappels sur les relations d’équivalence, ensemble quotient, théorème
de factorisation, cas des groupes avec les classes à gauche, Théorème de Lagrange.
Structure de groupe sur le quotient dans le cas abélien, projection canonique et
factorisation.

Les groupes Z/nZ : tout groupe monogène est isomorphe à Z ou Z/nZ , générateurs de Z/nZ, Z/nZ × Z/mZ est cyclique si et seulement  pgcd(n, m) = 1

Action de groupes : orbites, stabilisateurs, action fidèle, action transitive, équation aux classes, formule de Burnside, théorème de Cauchy.

Le groupe symétrique : support, orbites, cycles, décomposition en cycles, générateurs, signature, groupe alterné. Application possible au groupe du tétraèdre (ou du
cube).

Introduction à la théorie des anneaux

Généralités, anneaux, sous-anneaux, morphisme d’anneaux, groupe des inversibles, diviseurs de zero, anneaux intègres, corps.  Anneaux produits A^X , M_n (A). Anneaux de polynômes, morphismes d'évaluation. Anneaux intègres, corps, idéal maximal, existence des
 fonctions polynomiales. 

Idéal dans un anneau commutatif : Somme et intersections d’idéaux, idéaux et morphismes, structure d’anneau quotient et projection canonique, l’anneau Z/nZ,
indicatrice d’Euler, théorème des restes chinois pour les entiers modulaires, idéaux premiers et maximaux.
(on ne traite pas : divisibilité dans un anneau intègre, élément irréductible, an-
neau principal, lien irréductible-idéal premier)

Anneau de polynômes (sur un anneau intègre, puis sur un corps) : division euclidienne, Lien divisibilité-racines. Sur un corps : structure des idéaux de K[X], pgcd,
ppcm. Aritmétique : lemme d’Euclide, lemme de Gauss, etc... Irréductibles de R[X]
et C[X] (admis), décomposition unique en produit d’irréductibles pour K[X] (existence admise). Théorème des restes chinois pour les quotients d’anneaux de
polynômes.

Compléments d'Algèbre linéaire

Reprise du programme de MAT301, avec insistance sur la similitude, ou les classes de
conjugaison dans le groupe GL n (K). La diagonalisation simultanée est nouvelle.

Déterminant : formes multilinéaires, déterminant d’un système de vecteurs, déterminant
d’un endomorphisme, calcul matriciel, polynôme caractéristique. Invariance par
conjugaison.

Valeurs propres-vecteurs propres : racines du polynôme caractéristique, dimension
des sous-espaces stables comme invariant de similitude.

Polynôme d’endomorphismes : Morphisme d’évaluation, polynôme minimal, et théorème
de Cayley-Hamilton

Réduction aux sous-espaces caractéristiques : lemme de décomposition des noyaux,
sous-espaces caractéristiques, diagonalisation, diagonalisation simultanée

Réduction : Trigonalisation, décomposition de Dunford (vue en TD).

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UE encouragée pour les étudiants se destinant au CAPES.

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Ce cours comprend trois grandes parties. La première concerne le calcul différentiel en dimension
finie (avec un accent mis sur les dimensions deux et trois), la seconde les équations différentielles
(essentiellement linéaires), et la troisième les courbes et les surfaces (CAPES).

I. Calcul différentiel dans R n

1. Fonctions différentiables
(a) Fonctions différentiables d’un ouvert de R n à valeurs dans R m . Dérivées partielles, jaco-
bienne. Inégalité des accroissements finis.
(b) Dérivées d’ordre deux. Formule de Taylor à l’ordre deux, théorème de Schwarz. Matrice
hessienne.
(c) Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites. Applications (stabilité d’une racine
simple d’un polynôme, d’un point fixe d’un système dynamique).
2. Extréma
(a) Extréma libres : recherche d’extréma. Points critiques, étude locale, lien avec la hessienne.
(b) Extréma liés dans R 2 et R 3 .
(c) Extréma provenant de la géométrie du triangle.

II. Équations différentielles

1. Le cas linéaire
(a) Théorème de Cauchy-Lipschitz pour y 0 = A(t)y + B(t). Théorème du point fixe pour la
démonstration de C-L. Structure de l’espace des solutions, Wronskien.
10(b) Cas particuliers : n = 1, n > 2 et A constante, exponentielle de matrice, variation de
la constante, systèmes 2 × 2 à coefficients constants, équations scalaires du second ordre
x 00 + a(t)x 0 + b(t)x = c(t).
2. Le cas non linéaire en dimension 1
(a) Le théorème de Cauchy-Lipschitz pour y 0 = f (t; y).
(b) Quelques exemples de problèèmes de la forme a(t)y 0 = f (t; y) avec a(0) = 0 : recollement
de solutions.

III. Courbes et surfaces dans R 3

1. Courbes
(a) Courbes paramétrées de R 2 et R 3 , tangente.
(b) Propriétés métriques : longueur, abscisse curviligne, courbure, torsion, repère de Frenet.
Caractérisation d’une courbe par la courbure et la torsion à isométrie près.
(c) Étude de courbes singulières.
2. Surfaces
(a) Surfaces dans R 3 paramétrées ou définies de façon implicite. Plan tangent. Position de la
surface par rapport au plan tangent.
(b) Propriétés métriques : longueur, aire, formes fondamentales, courbure de Gauss.

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Ce cours comprend trois parties :
— Le calcul intégral en dimension un, on se restreindra à l’intégration des fonctions continues par morceaux ;
— Le calcul intégral en dimension supérieure, avec un accent sur les dimensions deux et trois ;
— Une introduction aux probabilités à densité continue, telles qu’elles sont utilisées en terminale.

I. Calcul intégral en dimension un

I.1. Intégration sur un intervalle compact

Intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment : construction de l’intégrale à l’aide des résultats du cours de topologie sur le prolongement des applications uniformément continues.

Positivité et linéarité de l’intégrale, inégalité de Cauchy-Schwarz. Formule de Chasles. Formule de la moyenne ;

Convergence des sommes de Riemann ;

Intégration par parties. Théorème de changement de variables.

Intégrale dépendant de la borne supérieure ; Intégrale dépendant d’un paramètre, lien avec la convergence uniforme, continuité, dérivabilité ;  

Calcul approché des intégrales (rectangles, trapèzes, Simpson), avec estimation du terme d’erreur ; Applications : intégrale curviligne (le long d’une courbe régulière du plan), longueur d’une courbe paramétrée.

I.2. Intégrales impropres

Intégrales impropres, cas des fonctions positives, comparaison séries/intégrales ; Intégrales impropres dépendant d’un paramètre, convergence uniforme, continuité, dérivabilité.

II. Calcul intégral en dimension supérieure.

Fonctions en escalier en dimension supérieure, sommes de Darboux inférieures et supérieures pour une fonction bornée, définition de l’intégrale, cas des applications continues sur un pavé ;

Intégration des fonctions continues de deux et trois variables sur des domaines simples  (boule notamment) ;

Énoncé des théorèmes de Fubini et de changement de variables (admis).

Coordonnées polaires (éventuellement sphériques).
 
Intégrales impropres dans le cas de fonction à valeurs positives, exemple : intégrale de la gaussienne ;

Produit de convolution. Définition, bilinéarité, commutativité et associativité.

III. Applications aux probabilités

III.1. Probabilités

Notions minimales sur les espaces probabilisés (la théorie de la mesure n’est pas au programme), variable aléatoire à valeur réelle, loi d’une variable aléatoire ;

Variable aléatoire à densité (on se restreindra au cas continu par morceaux) ;

Espérance, moments, variance ;

Exemples de lois continues obtenues comme limites de lois discrètes : loi uniforme sur un intervalle compact, loi exponentielle à partir de lois géométriques, loi normale et loi binomiale (théorème de Moivre).

Lien avec les sommes de Riemann. En cours ou TD :  comment les lois discrètes interviennent  naturellement (modèle d’urne et sondage, pile ou face. . .).  

Vecteur aléatoire à densité en dimension finie, indépendance d’une famille finie de variables aléatoires, loi d’une somme de variables aléatoires indépendantes ;

Inégalité de Tchebychev, loi faible des grands nombres.

III.2. Quelques utilisations en statistiques

Définitions : modèle statistique (famille de lois indexée par un paramètre, échantillon) ;

Intervalle de confiance, niveau non asymptotique ou asymptotique, exemples : paramètre p d’un échantillon de loi de Bernouilli, moyenne pour un échantillon gaussien de variance connue.

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Espaces affines réels de dimension finie

Calcul barycentrique, convexité. Transformations affines.

Espaces affines euclidiens de dimension 2 ou 3

Isométries. Configurations usuelles (triangles, cercles et sphères, coniques).

Utilisation des nombres complexes en géométrie

Similitudes planes. Homographies.

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Apprendre à programmer juste du "premier coup."
Apprendre à spécifier un algorithme.
Apprendre à prouver qu'un algorithme "marche"
Connaître et savoir manipuler les structures de données classiques en programmation.
Connaître et mettre en œuvre les principes de la programmation objet en Java.

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L’UE se décompose en 3 parties :

-Structures algébriques : anneaux, sous-anneaux, idéaux, morphismes d'anneaux.

-Polynômes : anneaux de polynômes, division euclidienne, pgcd, ppcm, théorème de Bézout, théorème de Gauss, polynôme d'endomorphisme.

-Réduction des endomorphismes : déterminants, éléments propres d'un endomorphisme et d'une matrice carrée, diagonalisation, trigonalisation, théorème de Cayley-Hamilton, polynôme minimal.

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L’UE se décompose en 2 parties :

• Séries numériques : séries convergentes, divergentes, propriétés, séries à termes réels positifs, séries absolument convergentes, séries alternées, règle d’Abel.
• Intégrales : Intégrales : somme de Riemann, définition de l’intégrale, propriétés, théorème fondamental de l’analyse
• Intégrales généralisées : intégrales convergentes, divergentes, propriétés, exemples de référence, cas des fonctions réelles positives, convergence absolue et semi-convergence, méthodes de calculs.

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* Comprendre un raisonnement, en particulier, être capable  de déterminer si un raisonnement logique est correct ou non.
* Raisonner, c'est-à-dire, construire un raisonnement correct utilisant les outils de la logique propositionnelle et du premier ordre.
* Modéliser et formaliser un problème.
* Ecrire une preuve rigoureuse.

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* Codage de l'information, représentation binaire des informations.
* Automates, analyse et évaluation d'expressions, d'instructions, de programmes.
* Langage machine et langage d'assemblage, adresse, mémoire, données, exécution séquentielle, sauts, sous-programmes, paramètres, traduction systématique d'un langage haut-niveau en langage d'assemblage.
* Organisation de processeur : interpréteur du langage machine, principes de l'interprétation d'une instruction en micro-actions (action exécutable en un cycle d'horloge).
* Architecture et organisation d'un ordinateur.
* Vie d'un programme : compilation, binaire exécutable, chargement.

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